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1、华中师范大学微分几何试题答案(06-09)华中师范大学2004–2005学年第二学期期末考试试卷（A卷）答案课程名称微分几何课程编号42121100任课教师周振荣一、填空题：（共5题，每题2分，共10分）1．曲线的伏雷内公式为??k?????????k????????????2．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则
2、ru?rv
3、3．曲面的高斯方程为Rmijk?LmkLij?LmjLik?Lij?uk????4．曲面的科达齐方程为??Lik?uklj??(?llikLlj??ijLlk)?gij?uil5．第二类克氏符号
4、?ij?l?l12g(?gil?uj??gjl?ui?)1．圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平?二、计算题：（共3题，70分）面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）解：r(0)?{1,0,0},r?(0)?{0,1,1},r??(0)?{?1,0,0}，所以X?10Y?01Z?01???切线：??，即??X?1?0?Y?Z?0法平面：(X?1)?0?(Y?0)?1?(Z?0)?1?0，即Y?Z?0X?1Y10Z1?0，即?Y?Z?00密切平面：0?1r
5、(t)?{cots,stint?,r}?,t?()??{tsint,??r??(t)?{?cost,?sint,0},r???(t)?{sint,?cost,0}。
6、r?
7、???r,??r???{sitn?,???1??
8、ctos,r},r2??
9、r??r??
10、1k?3?
11、r?
12、2??????)(r?,r??,r1??2?(r??r??)22．计算抛物面z?x2?y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35分）解：???22r?{x,y,x?y}，rx?{1,0,2x},ry?{0,1,2y}，??
13、?rxx?{0,0,2},rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,2}??r?ry?xn??
14、rx?ry
15、所以有?2???222E?rx?1?4x,F?rxry?4xy,G?ry?1?4y??L?rxxn?22????M?rxyn?0，N?ryyn?I?(1?4x)dx?8xydxdy?(1?4y)dy22II?LN?MEG?F22?22K??4(1?4x?4y)222H?LG?2MF?NE2(EG?F)2?2?4x?4y22223/2(1?4x?4y)在脐点有II??I，由此得x?y?0，即唯一的脐点是原点。三、证明
16、题：（共1题，10分）若曲面的两族渐近线交于一定角，则主曲率之比为常数。证明：取渐进网为曲纹坐标网，则v曲线与u曲线的夹角为常数?，且v曲线方向的法曲率为零。22根据欧拉公式有k1cos??k2sin??0?k1k2??sin?cos?22四、应用题：（共1题，10分）用高斯-波涅定理证明极小曲面上不存在简单闭测地线。解：?k1?k2?0?K?k1k2?0由于在测地线上kg?0由高斯-波涅公式有??Kd???2??0。矛盾华中师范大学2005–2006学年第二学期期末考试试卷（A卷）课程名称微分几何课程编号4212110
17、0任课教师周振荣一、叙述题：（共4题，每题5分，共10分）1．高斯定理：高斯曲率是内蕴量，或K??R1212/gk2．高斯-波涅公式：??Kd??G????Ggds??(?i?1??i)?2?,其中?i是?G的第i个内角的角度，???i是外角的角度．二、填空题：（共5空，每空6分，共30分）ttt3．设有曲线x?ecost,y?esint,z?e，当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1。4．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则
18、ru?rv
19、5．曲线x?tsint,y?tcost,z?te在原点的切向量为α?(0,t2
20、2，主法向量为β?3,?66)、副法向量为γ?3,3?3。三、计算题：（共2题，每题15分，共30分）6．圆柱螺线的参数表示为r?(acost,asint,bt)。计算它的曲率和挠率。解r??(?asint,acost,b)，r???(?acost,?asint,0)，r????(asint,?acost,0)，
21、r?
22、?r?r??(absint,?abcost,a)，2
23、r?r?
24、?所以有??aa?b22，??ba?b22．▌7．计算正螺面r?(ucosv,usinv,av)的高斯曲率、平均曲率。解ru?(cosv,s
25、inv,0)，rv?(?usinv,ucosv,a)，ruu?(0,0,0)，ruv?(?sinv,cosv,0)，rvv?(?ucosv,?usinv,0)，iru?rv?cosv?usinvjsinvucosvk0?(asinv,?acosv,u)，an?ru?rv
26、ru?rv
27、??，E?ru?ru?1，F?ru
