微分几何19833

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1、微分幾何II期末考試題詳解2009/6/19樂美亨221.(15%)試給出f(,)xy=+xy函數圖形的參數式，並求其第一基本式、第二基本式，以及算出其高斯曲率及其均曲率Solution:gh22參數式Χ=+()x,,yx()y,xygghggghΧ=x(,)1,0,2xyx(),Χ=y(,)0,1,2xyy()gghgghgghggghggghgggh22gx=ΧΧ=+,14,gg==ΧΧ=,4xy,gy=ΧΧ=+,14xxxxxyyxxyyyyyggx2xy⎛⎞xxxy⎛⎞14+4第一基本式：I==⎜⎟⎜⎟2⎝⎠ggyxyy⎝⎠41xy

2、y+4gghgghhΧ×Χ()−−2,2,1xx⎛⎞221xy12n==gghggh=⎜⎟−,,−Χ×Χ22++⎝⎠22++22++22++12441xx441441441xxxxxxggghΧ=xx(,)0,0,2xy()ggghggghΧ=xy(,)xyΧ=yx(,)xy()0,0,0ggghΧ=yy(,)0,0,2xy()ggghh2ggghhggghh2bn=Χ,=,bb==Χ=,0n,bn=Χ,=xxxxxyyxxyyyyy2222441xy++441xy++⎛⎞2⎜⎟022第二基本式：II==⎛⎞bbxxxy⎜⎟441xy++⎜

3、⎟⎝⎠bb⎜⎟2yxyy0⎜⎟22⎝⎠441xy++22⋅−022222bbxxyy−bxy441441xy++xy++4高斯曲率K===222222gg−g()1414++−xyx()16y441xy22++xxyyxy()gb−+2gbgbyyxxxyxyxxyy均曲率H=22(gg−g)xxyyxy2222()14++yx()14+222222441xy++441xy++24++x4y==⎡⎤++−2222321414⎣⎦()xyx()16y⎡14++xy224⎤2⎣⎦■12.(15%)雙曲平面Hx=∈{(,)

4、,yxyyy,>0}其

5、第一基本式的係數矩陣為⎛⎞10⎜⎟2⎛⎞gg1112=⎜⎟y⎜⎟，試求其高斯曲率K。⎝⎠gg⎜⎟121220⎜⎟2⎝⎠ySolution:＜方法一＞⎛⎞2211⎛21⎞⎛1⎞∂∂lnln∂ln∂⎜⎟yy⎜y⎟⎛⎞∂2lny⎜y⎟⎛⎞122222Ky=−⎜⎟+=−y⎜01+⎟=−y⎜⎟−=−y⎜−⎟=−y⎜⎟=−2⎜⎟∂∂xx∂∂yy⎜∂∂yy⎟⎝⎠∂∂yy⎜∂y⎟⎝⎠y⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠■＜方法二＞11⎛⎞1ststK=⎜⎟gggg12,12−−−Γ11,2222,11∑st()1122Γ−Γ1212Γgg1122−gg1221⎝⎠2

6、2st,4⎛⎞11ststKy=−⎜⎟g11,22−g22,11−∑gst()Γ11Γ−22Γ12Γ12⎝⎠22st,22111l2211lΓ=11∑gggg()llj1,1+1,1−1,1=0,Γ=11∑gggg()lll1,1+1,1−11,=,2l=12l=1y21111l111Γ=12∑gggg()lll2,1+1,2−12,=gg()11,2=−,22l=1y22211l22Γ=12∑gggg()lll2,1+1,2−12,=gg()22,1=0,22l=121111l11Γ=22∑gggg()lll2,2+2,2−22,=ggg

7、g()12,2+21,2−22,1=0,22l=122211l221Γ=22∑gggg()lll2,2+2,2−22,=gg()22,2=−22l=1y4⎛⎞1−411112222Ky=−⎜⎟()6(y−()g11ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ11221212)g22(11221212)=−1⎝⎠2■h12112433.(15%)在圓柱曲面x(,uu)=(cos(),sin(),uuu)上，求通過點(1,0,0)且切向量為(0,,)的55測地線參數式。Solution:ghgh12112Χ=()uu,c(osu,sinuu,)Χ=()0,0(1,0

8、,0)ggh1211Χ=1()uu,(−sin,cos,0uu)ggh12Χ=2()uu,0(),0,1g=1,gg==0,g=111122122gghΧ=1()()0,00,1,0gghΧ=2()()0,00,0,1212u()00=,u()00=⎛⎞434ggh3ggh⎜⎟0,,=⋅Χ12()0,0+⋅Χ()0,0⎝⎠55551423u'0()=,u'0()=55ghghdu2ki2duduj12kα()su=Χ()()()s,us為測地線，2+Γ∑ij=01k=,2dsij,1=dsds2kk1l因為gij皆為常數，Γ=ij∑gggg

9、()lji,,,+ilj−ijl=0∀ijk,,.2l=1⎧⎪us1''()=0⎧⎪usccs11()=+2⎨⇒⎨⎪⎩us2''()=0⎪⎩usccs23()=+4⎧4⎧4⎧⎪u