资源描述:
《a微分几何绪论》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、微分几何DifferentialGeometry绪论AnundergraduatecourseLOGO弯曲空间中的距离大连去北京有多远?步行、飞机、汽车、火车…北京距纽约有多远?…还有更多问题如何计算曲面上两点的距离?是否有不同的距离?有没有比直线距离更短的“距离”?曲线、曲面到底有多弯?在弯曲的表面上是否能够找到两点间一条最短的路径?怎么来比较两个弯曲的形状?一张纸不打折的情况下可以变换成什么形状?……恩格斯数学的研究对象是现实世界中的数量关系和空间形式Geometry-几何“geo-metry”就是“
2、土地测量”Thales(公元前625-547)-三角测量Pythagoras(公元前580-500),《周髀算经》勾股定理Geometry-几何Plato(公元前429-348),确立了定义、公设、公理、定理等概念,建立了逻辑体系。“Elements”,欧几里德(Euclid),公元前3001607年利玛窦和徐光启将“Elements”前6卷译成中文《几何原本》,中文的“几何”由此得名。(1857年由我国清代数学家李善兰(1811-1882)和英国人伟烈亚历译了后9卷)抽象、公理化几何学-逻辑推理系统数与形的统一:
3、解析几何坐标系(coordinatesystem)笛卡儿(ReneDescartes,1596-1650)法国数学家费马(PierredeFermat,1601─1665)法国数学家一次曲线Line,一次曲面Plane,二次曲线Conics,二次曲面Conicoid,quadricsurface形数形状、大小代数表达式微分几何DifferentialGeometry坐标系、微积分应用于几何学,产生了微分几何研究如何描述空间中一般的曲线和曲面的形状参数变换下几何不变量:曲线弧长、曲率、挠率;曲面第一基本形式、第二
4、基本形式等微积分,拓扑学,高等代数与解析几何知识的综合运用突出的数学家Euler(1707-1783),Morge(1746-1818)引进曲线曲面参数表示法曲率能够由主曲率表示,Euler公式Gauss(1777-1855)曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率,内蕴几何学IntrinsicdifferentialgeometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼几何学;弯曲空间Klein(1849-1925)变换群Cartan(1869-1951)活动
5、标架,纤维丛及其联络突出的数学家陈省身开创并领导着整体微分几何、“陈省身示性类”丘成桐“卡拉比猜想”,“微分几何中偏微分方程作用”,“完备黎曼流形上调和函数”杨振宁先生对几何学的概括天衣岂无缝,匠心剪接成。浑然归一体,广邃妙绝伦。造化爱几何,四力纤维能。千古寸心事,欧高黎嘉陈。课程内容WHATWEWILLLEARN曲线与曲面的微分几何CurveandSurface显式函数explicitfunctionyfxz(),fxy(,)隐式曲线曲面implicitfxy(,)0,(,,)0fxyz参数曲线曲面p
6、arametric((),(),()),xtytzt((,),(,),(,))xuvyuvzuv课程内容曲线(Curve):弧长、曲率、挠率、Frenet标架、曲线基本定理…曲面(Surface):第一、二基本型、主曲率、高斯曲率、平均曲率、共形映照、测地曲率和测地线…300BC17世纪18世纪19世纪20世纪Euclid笛卡尔EulerRiemannCartanGauss陈省身微分几何有用吗?HOWTOMAKEUSEOFIT微分几何的应用理论物理广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说,空间和时间结合在一起由一个流
7、形描述:不同的参照系给出不同的局部坐标;不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出,象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说:时空的物理量(能量动量张量)等于时空的几何量(Ricci曲率张量)微分几何的应用计算几何、图形学曲线曲面设计•离散微分几何网格曲面计算机视觉机器学习与数据分析基于流形的学习方法拓扑学,代数拓扑和微分拓扑与之紧密相连代数几何,代数方程(组)的零点集计算机视觉ComputerVision数字几何数字几何媒体(Digitalge
8、ometrymedia)正成为继声音、图像和视频之后的下一轮数字媒体浪潮。1D2D2D3D数字几何媒体:拓扑结构复杂;采样非均匀;没有通用标准几何造型ShapemodelingSurfacereconstruction(static)FromCToropticalimages,rawp