人教版文科数学椭圆讲义.docx

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1、2.1椭圆第1课时椭圆及其标准方程1．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，ca2＝b2＋c2的关系例题1（椭圆定义理解）22已知椭圆x2＋y2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，ab求△ABF2的周长．解：∵

4、AF1212

5、＝2a，

6、＋

7、AF

8、＝2a，

9、BF

10、＋

11、BF又∵△A

12、BF2的周长＝

13、AB

14、＋

15、BF2

16、＋

17、AF2

18、＝

19、AF1

20、＋

21、BF1

22、＋

23、AF2

24、＋

25、BF2

26、＝4a，∴△ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M

27、

28、MF1

29、＋

30、MF2

31、＝2a}(其中

32、F1F2

33、＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a

34、PA

35、＋

36、PB

37、＝2a

38、，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若点P的轨迹是椭圆，则一定有

39、PA

40、＋

41、PB

42、＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若

43、PA

44、＋

45、PB

46、＝2a(a>0，为常数)，当2a>

47、AB

48、时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝

49、AB

50、时，点P的轨迹是线段AB；当2a<

51、AB

52、时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F1，F2，且

53、F1F2

54、＝8，动点P满足

55、PF1

56、＋

57、PF2

58、＝8，则动点P的轨迹是()

59、A．椭圆B．圆C．直线D．线段解析：选D因为

60、PF1

61、＋

62、PF2

63、＝

64、F1F2

65、，所以动点P的轨迹是线段F1F2.例题2（求椭圆的标准方程）(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点5，－3，求它的标22准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知2a＝52325232＋2＋－2＋－2＋－222＝210，∴a＝10.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.x2y2∴所求椭圆的标准方程为10＋6＝1.(2)设椭圆方

66、程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，4m＝1，∴n＝1，1∴m＝4，n＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝1.4案例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)．因为2a＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－

67、32＝16.x2y2所以所求椭圆的标准方程为25＋16＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，y2x2所以设它的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.y2x2所以所求椭圆的标准方程为169＋144＝1.例题3（与椭圆有关的轨迹问题）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．[尝试解答]由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为

68、P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以

69、PM

70、＋

71、PN

72、＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x2y24＋3＝1(x≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，标“