第一节函数的单调性与凸性(1).ppt

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1、第四章导数的应用4.1函数单调性与凸性1一、单调性判别定理1、定理：设函数在上连续，在上可导（1）若，恒有则在上单调增加；（2）若，恒有则在上单调减少.22、求函数的单调区间的方法步骤⑴、求导数⑵、解及不存在的点；⑶、以为分界点将定义域分成几个子区间，分别判断函数在各个区间的单调性.3例1：设，求单调区间.4解：函数定义域分为：5二、曲线的凸性定义：函数y=f(x)在[ab]上连续，在（ab)内可导。若曲线y=f(x)总位于每一点切线的上方则此段曲线弧为凹弧。若曲线y=f(x)总位于每一点切线的下方，则称此段曲线弧为凸弧。6二、曲线的凸性

2、1、定义设函数在区间可导：（1）若在区间上单调递增，则称该曲线为向下凸（或凹）的；（2）若在区间上单调递减，则称该曲线为上凸（或凸）的.凸性的定义：曲线向上凸或向下凸的性质，统称为曲线的凸性.凸性区间：使函数向上凸或向下凸的区间7注：上凸的曲线的切线都在曲线的下方，下凸的曲线的切线都在曲线的上方.2、凸性判别定理定理：设函数在闭区间上连续，在区间内二阶可导，则对（1）若，则在上是下凸的（用符号“”表示）（2）若，则在上是上凸的（用符号“⌒”表示）⌒83、拐点定义（拐点）：函数在的某一邻域连续，且函数在点的左、右两侧凸性正好相反，则称为函数

3、的拐点.94、求曲线的凸性区间及拐点的方法步骤①求导数②解及不存在的点④判别在各子区间的符号，从而得到曲线在该曲线的凸性；③以为分界点将定义域分为几个子区间；⑤判别是否是拐点.10例2：判断曲线的凸性，并找出拐点.解：曲线凸曲线凹11例3：判断函数的凸性，并找出拐点.解：曲线凸曲线凹曲线凸曲线凹12小结：1、求函数单调区间。（驻点）2、求凹凸区间（拐点）13