第三节 函数的单调性与凸性

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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性1、函数单调性的判定定理定理4.3设函数在内可导，那么①如果时，恒有在内递增（等号仅在有限个点处成立）②如果时，恒有在内递减（等号仅在有限个点处成立）注：定理中的区间也可换成其它形式的各种区间122、补充概念1．驻点：使的点，称为的驻点。2．临界点：函数的驻点与函数的导数不存在的点统称为临界点。例1确定的单调增减区间-11+-+注：（1）复习序轴标根法：①每个因子中的系数为正12②数轴上只标出单重根③画波浪线时总是从右上侧入手。（2）单调性的一般步骤①解方程求出所有的根及导数不存在的点，即临界点

2、②将所有的临界点从小到大排列划分函数的定义域，列表，由判定定理写出结果③最后写出综合的结果例2确定的增减性例3（补充）确定的单调区间3、利用单调性证明不等式12例4（补充）①当时，求证：②当时，求证：补充(900406)当时，求证：二、曲线的凹向与拐点1．曲线的凹向概念定义4.2曲线弧位于其上任意一点切线的上方曲线在这个区间上上凹的U曲线弧位于其上任意一点切线的12下方曲线在这个区间上下凹的下凹上凹U定义：设在区间I内连续，如果对I上任意的两点恒有：凹的凸的注：①常用凸凹性来证明不等式。如习题3——4：8（3）12设即可。②特别的：如果曲线是

3、凹的，且则对有利用它来证明不等式。例：习题3——4：8（5）12设凸的又，故对任意的有2、曲线凸凹性的判定定理定理7设在内具有二阶导数，则12①有上凹②有下凹3．曲线的拐点及其判断1）．定义3曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。2）．拐点的判定定理区间+U-拐点-n+U拐点+U+U12无拐点-n-n注：（1）只关心在左右邻近，存在且符号相反，则为拐点。与，存在与否无关。（2）拐点的可能取值：①或②12不存在的点（可能存在，也可能不存在）例1求的凹向与拐点解：01区间+-+UnU拐点拐点例2求的凹向与拐点12解：（不存在的点）2区间-+nU拐

4、点三、小结：（1）单调性与极值：求出的根，不存在的点，然后再列表讨论。（2）凸凹性与拐点：求出的根，12不存在的点，然后再列表讨论。作业：课堂练习3——4：1，2习题3——4：1，2，4（1）（4）（5）（8）5（1）（2）（6），6，7（1）（3）（9），8（3）（5），912