数学归纳法及应用

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1、第40讲　数学归纳法及应用【学习目标】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．进一步体会归纳、猜想、证明的意义，提升归纳推理、抽象概括的能力．【基础检测】CCBD特殊事例一般性结论数学归纳法第一个值n0n＝kn＝k＋1n0假设时结论成立，推得时结论亦成立验证时结论成立n＝k(k≥n0且k∈N*)n＝k＋1n=n0归纳奠基归纳递推从而命题对从开始的所有n都成立n02．用框图表示数学归纳法的步骤【点评】本题是探索性问题通过特殊情况进行探索，再对一般情况用数学归纳法证明，特殊到一般是一种重要的数学思想方法，它常与数学归纳法相伴，从而走到完美，用数学归

2、纳法证整除性问题时，首先要从要证的式子中拼凑出能利用归纳假设的式子，然后证明剩余式子也能被该数(或式)整除，拼凑是关键．【点评】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律；等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系．【点评】用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都

3、成立的结论，再用数学归纳法证明．【点评】已知数列递推关系，但求不出通项时，往往可把an＋1看成an的函数，由an的范围可确定an＋1的范围，从而可用数学归纳法．【点评】近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法证明与自然数集有关的命题，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求证明结论的正确性，因此有必要培养并提升“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式和能力．1．数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．2．证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，

4、然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论．3．用数学归纳法证明不等式的关键是：第二步利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n＝k＋1成立时的式子．4．用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n＝k到n＝k＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律．5．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项an或前n项和Sn，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等．这里猜想必须准确，证明必须正确．既用到合情推理，又

5、用到演绎推理．猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成．DC(1,2)(3,403)