浅谈数学归纳法的认识及应用

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1、浅谈数学归纳法的认识及应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。本文通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法的应用。要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明命题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。【关键词】归纳法猜想证明方法(一）数学归纳法的概述归纳是一种有特殊事例导出一般

2、原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在高中数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。[1]例如：大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？试验（1）从大球中取出5个小球，发现全是红色的。推理大球中装的全是红球判断考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确。试验（2）从大球中取出所有的小球，发现全是红色的。推理大球中装的全

3、是红球判断考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。完全归纳法一定是正确！[2]数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解高中数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法。用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n。结论正确；(2)假设当n=k（k∈N，且k≥n。）时，结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。由（1）、（2）可知,命题对从n。开始的所有正整数n都正确。 这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。由这两步可以

4、看出，高中数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用高中数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。[1]运用数学归纳法，可以证明下列问题：等式、整除问题、几何问题、与数列有关的问题、不等式等等。（二）数学归纳法的应用1、证明等式∴等式成立．②假设n＝k时等式成立那么n＝k＋1时由①②可知，对任何n∈N等式均成立.[3]例2求证：(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n·1·3·5……(2n-1)(

5、n∈N)证明①当n＝1时等式左边=2，等式右边=2×1=2∴等式成立②假设n＝k(h∈N)等式成立即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)=2k·1·3·5…(2k-1)成立那么n＝k＋1时(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k+1·1·3·5…(2k-1)[2(k＋1)-1]即n＝k+1时等式成立由①②可知对任何n∈N等式均成立．说明由k过渡到k＋1时，等式左边增加的因式是(2k＋1)(2k＋2)且减少一个因式(k＋1)，故在假设基础上两边同乘以2(2k＋1)．[3

6、]例3是否存在常数a、b、c使得等式解假设存在a、b、c使题设等式成立，这时令n=3得：70=9a＋3b＋c解之a=3b＝11c＝10于是当n＝1，2，3时记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2假定n＝k时上式成立，即那么当n＝k＋1时Sk+1=Sk＋(k＋1)(k+2)2也就是说等式对n=k＋1也成立．综上所述，当a=3，b＝11，C＝10时，题设的等式对一切自然数n成立．[3]1、证明整除问题例4用数学归纳法证明：n3＋5n(n∈Z)能被6整除。证明①当n＝1时，n3＋5n＝6能被6整除。②假设当n=k(h∈N)时结论正确，即k3

7、＋5k(k∈N)能被6整除，那么(k＋1)3＋5(k＋1)=(k3＋5k)＋3(k2＋k＋2)∵k∈N时，k2＋k＋2是偶数∴3(k2＋k＋2)能被6整除，于是(k2＋5k)＋3(k2+k+2)能被6整除。由①、②可知，对任何n∈N结论正确。[3]例5求证an+1＋(a＋1)2n-1能被a2＋a＋1整除(其中a＞0，且a≠1)。证明①当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n-1=a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。②假设n=k时，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k+1时，ak+2＋(a＋1)2k＋1

8、＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1＝a［ak+1＋(a＋1)2k-1］＋(a＋1)2(a＋1)2k-1-a(a+1)2k-1＝a[ak+1＋(a＋1)2