数学论文浅谈数学归纳法的应用

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1、浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛.在最近几年的高考试卷屮体现的特别明显，以下通过儿道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题吋，由到吋，首先耍从要证的式子屮拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。例1、是否存在正整数加，使得f(h)=(2n+7)・3"+9对任意白然数n都能被加整除?若存在，求出最大的说值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f(n)=(2n+7)•3rt+9，得/(l)=36,/(

2、2)=3X36,/(3)=10X36,/(4)=34X36,由此猜想m=36.下而用数学归纳法证明：(1)当n=l吋，显然成立.(2)假设n=kW，/(R)能被36整除，即.f(k)=(2k+7)・¥+9能被36整除;当心+1时,[2(好1)+7]・3宀+9=3[(2R+7)・3火+9]+18(3「

3、一1),由于沪一1是2的倍数，故18(3—1)能被36整除.这就是说，当zR+1时，/5)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数兄都有/(〃)=(2卄7)・3”+9能被36整除，加的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题対于证明恒等的问题，在由

4、证等式也成立时，应及时把结论和推导过程対比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性.例2、是否存在常数a,b,c,使得等式1>224-2>32+4-«>(/1+1)2=+(an2+hn+c)对一切白然数12刃成立？并证明你的结论.解：假设存在a,b,c,使得题设的等式成立，则当时n=1,2,3也成立，代入得■4=—(a+b+c)6•22二丄(4a+2b+c)270=9a+3b+c解得d=3,b=ll,c=10,于是对n=1,2,3,下面等式成立:1・2?+2・3?++〃•(〃+1尸二"("+1

5、)(37?+11/1+10)12令S“=1>22+2>32++/?*(/?+1)2假设斤=k吋上式成立，即SkJ：；%疋+1%+10)那么S如=Sk+伙+1)伙+2尸R伙+1)12(3/+1«+10)+伙+1)仗+2尸伙+2)(325)+伙+1)伙+2尸二伙+1）伙+2）2+5R+12R+10）12=伙+1）伙+2）〔3伙+］）2+］］伙+］）+io］12这就是说，等式当n=k+1时也成立.综上所述，当a=3.b=U,c=10时，题设的等式对一切自然数斤都成立.三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n=k+1”时成立

6、，有时要进行一些简单的放缩,有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等.x+3例3.已知函数=工-1）.设数列U}满足G严1卫曲=f（an）,数列他}满足x+1bn=1an-y/3l,S“=b+E+•・・+仇（〃wN*）・（I）用数学归纳法证明叽W（牛1）"；（II）证明s”v迹.n2"一H32证明：解：（I）证明：当兀no时，广（兀）=1+——>1.因为心=1,所以afgwN*）•下而用数学归x+1纳法证明不等式仇5苗［）"・（1）当21时，b1=V3-l,不等式成立,（2）假设当n=k时，不等式成立,卫卩刀7

7、E

8、（^3-1）Icik-V3IV3-1（V3-1）A+1那么bk_}=ak+}-V3I=<—-—.1+沐22所以,当n=k+l时，不等也成立。根据（1）和（2）,可知不等式对任意nUN*都成立。（II）证明：由（I）知，bn5宀一卩.川d—1所以s”=$+筠+…+仇5（巧一1）+（、匸厅..(V3-1)ZI+…+——V3-12<(V3-1)———=-V3._口32故对任意”心”<莉.(1)求数列｛bn｝的通项公式久；(2)设数列｛an｝的通项a“=lg(1+—),bn),记Sn为｛g｝的前n项和,试比较必与*lg久+］的大小，并证明你的结论.解:(1)

9、容易得b=2n-.(2)由bn=2n~,知S”=lg(l+1)+lg(1+*)W+小出)•…(1+存乂一1gb“+1—lgJ2n+1,因此要比较S”与丄lg仇+】的大小，叮先比较(1+1)小.取心1,2,3时可以发现：前者人于后者，由此推测(1+1)(1+—)(1+——-——)>+1.32n-1下而用数学归纳法证明上而猜想：当7?=1时，不等式①成立.假设时，不等式①成立，即)>血+1.2k+-)•…3(1+」一)与如+1的大2/?一1那么n=k+1时，(1+(1+-)(1+132伙+1)血+12k-)(1+1乂[2(zi)V2TH]2_(7^)-

10、丄〉。,•2(k+1)血+1>血+3=J2伙+1)+1.2k+12R+1・••当