数学论文 浅谈数学归纳法的应用

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1、上教考资源网助您教考无忧浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。一、用数学归纳法证明整除问题　　用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。例1、是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理

2、由.证明：解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k--1－1），由于3k-1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（

3、1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题　　对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数，使得等式对一切自然数成立？并证明你的结论．解：假设存在，使得题设的等式成立，则当时也成立，代入得解得，于是对，下面等式成立：令假设时上式成立，即那么版权所有@中国教育考试资源网上教考资源网助您教

4、考无忧这就是说，等式当时也成立．综上所述，当时，题设的等式对一切自然数都成立．三、用数学归纳法证明不等式问题　　用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数设数列}满足，数列}满足（Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明证明：解：（Ⅰ）证明：当因为a1=1，所以下面用数学归纳法证明不等式（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么所以，当n=k

5、+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以版权所有@中国教育考试资源网上教考资源网助您教考无忧故对任意例4．已知数列｛ｂn｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求数列｛ｂn｝的通项公式ｂn；（2）设数列｛an｝的通项an＝lg（1＋），记Sn为｛an｝的前n项和，试比较Sn与lgｂn＋1的大小，并证明你的结论．解：（1）容易得ｂn＝2n－1.（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋）＋…＋lg（１＋）＝lg（１

6、＋１）（１＋）·…·（１＋）.又1gbn＋１＝1g，因此要比较Sn与1gbn＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋）·…·（１＋）与的大小.　取n=1，2，3时可以发现：前者大于后者，由此推测（1+1）（1+）·…·（１＋）＞.①下面用数学归纳法证明上面猜想：当n=1时，不等式①成立.假设n=k时，不等式①成立，即（1＋1）（1＋）·…·（１＋）＞.那么n=k+1时，（１＋１）（１＋）·…·（１＋）（１＋）＞（１＋）＝.又［］2－（）2＝＞０，∴＞=∴当n=k+1时①成立.综上所述，n∈N*时①成立．由函数单调

7、性可判定Sn＞1gbn＋１.四、用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题版权所有@中国教育考试资源网上教考资源网助您教考无忧　　由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．例5、已知y=f（x）满足f（n－1）=f（n）－lgan－1（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn2+βn－1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论解：∵f（n）=f（n－1）+lgan－1，

8、令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0又f（1）=－lga，∴∴∴f（n）=（n2－n－1）lga证明：（1）当n=1时，显然成立（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k2－k－1）lga，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2－k－1+k）lga=［（k+1）2－（k+1）－1］lga∴当n=k+1时，等式成立综合（1）（2）可知，存在