【数学论文】数学归纳法的应用能力

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1、【数学论文】数学归纳法的应用能力摘要：数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一，也是一种特殊的论证方法，它在数学各个分支都有着广泛的应用。在数学学习过程中归纳法应用一直是教师教学的一个主要手段之一，其思想与方法可以有多方面的体现，在学习应用当中具有较深远的意义。关键词：数学归纳法思想应用能力引言　　归纳法，即通过对一些特例或简单情形进行观察与综合以发现一般规律的一种科学思维方法，其基础在于实践与观察，被著名的美籍匈牙利数学家波利亚称为科学家处理经验的方法.作为数学研究的基本方法之一，归纳法常用于数学发现，其过程体现了数学的创造与再

2、创造过程.归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法，其结论不一定可靠.而完全归纳法是一种研究事件的所有特殊情况后得出的推理方法，且得出的结论是可靠的.因此，当涉及的问题是与自然数有关的数学命题时，先用不完全归纳法猜想规律，后用完全归纳法证明其正确性.数学归纳法的精妙之处在于用两个命题的证明代替了无数个命题的证明，充分体现了有限与无限的辩证关系.在教学中，学生往往机械地套用两个步骤解题，对数学归纳法的内涵缺乏真正的理解.本文结合自己的对数学归纳法思想的理解实践，浅谈数学中的归纳法思想及其应用

3、。1、数学归纳法的概念　　数学归纳法(MathematicalInducaion，通常简称为MI)是一种数学证明方法，经常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。除了自然数以外，广泛意义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，比如:集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用十数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。尽管数学归纳法的名字中有“归纳”二字，但不严谨的归纳推理法不包括数学归纳法在内，它是属十完全严谨的演绎推理法。　　该方法主要用来研究与正整数有关的数学问题，在中学数学中常用来证明数列通项公式和等式成立成立。最简

4、单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立。最早使用数学归纳法来证明的的人是Maurolic，他利用递推关系巧妙的证明出了前n个奇数的总和是n2，由此揭开了数学归纳法之谜。2、数学归纳法的理论依据　　一般地说，数学归纳法的两个步骤可以概括为:　　(1)证明当n=n。时命题成立;　　(2)假设当n=k(kn。,kN*)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立.　　根据(1)和(2)，可以断定命题对于从n。开始的所有自然数n都成立.　　用数学归纳法证明时，为什么完成了上述两个步骤后，就可以断定命题对于从n。开始的所有

5、自然数n都成立呢?　　这是学生的迷惑之处，教师要把这个问题讲透.因为用数学归纳法证明的一般命题包含着无数多个特殊命题.若将用数学归纳法证明的一般命题设为:己知n,n。kN*，证明结论M(n)成立，则它包含着无数多个特殊命题的全体:　　己知n=n。，证明结论M(n。)成立;①　　己知n=n。+1，证明结论M(n。+1)成立;②　　己知n=n。+2，证明结论M(n。+2)成立;③　　……　　第二个步骤的作用是证明了命题M(n)的成立对于自然数n具有传递性，即由n=k(kn。,kN*)时结论M(k)假设成立，可推得结论M(k+1)成立.其具体表

6、现是:由①成立，可推得②成立;由②成立，可推得③成立;……　　因为在第一个步骤中，己经证得①成立，再结合第二个步骤，这样就说明了无限多个特殊命题都成立，由此推得原命题成立.至此，运用数学归纳法证明某些与自然数有关的数学命题的原理，应该说己经直观明了了.　　但是，数学归纳法两个步骤的理论依据又是什么呢?它源于何处?只有理解数学归纳法的理论依据，才能凸显这种证明方法具备理论的严密性和应用的广泛性.数学归纳法两个步骤的理论依据于自然数集合公理的归纳公理，即如果一个由自然数组成的集合含有1，又当这个集合含有任一自然数n时，它也一定含有n的后继数，

7、则此集合含有全部自然数.上述公理是意大利数学家皮亚诺在1889年提出的.根据归纳公理，我们要证明与自然数集有关的命题P成立，只需证明两点:先证明命题P对于自然数n。成立，这是数学归纳法的第一步;然后证明假设命题尸对于k成立，由此推得命题P对于自然数k+1也成立，这是数学归纳法的第二步.由此可见，用数学归纳法证明时，只要完成了上述两个步骤，就可以断言命题对于从n。开始的所有自然数n都成立。3、数字归纳法的思想本质　　思想反映在人的意识中，是客观存在，经过思维活动而产生的结果。现实世界在数学里的反映是能动的，数维能动的自由创造，是来自往常经验

8、的一开始的概念和原理有所意识并合乎逻辑学思的发展。数学归纳法的演绎推理是在归纳基础上成立的，演绎推理在数学中归纳基础上的是普遍存在的，并且不仅仅是局在于数学归纳法上。比如，在学习三角形内角和定