数学归纳法及应用举例.doc

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1、数学归纳法及应用举例重点难点分析：　　（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。　　（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。　　（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。　　（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。　　典型例题：　　例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。　　证明：①当n=1时，左，右=-1

2、(1+1)(4+3)=-14，等式成立。　　②假设n=k时等式成立，　　即=-k(k+1)(4k+3)。　　n=k+1时，　　　+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2]　　=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)　　=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。由①②知，当n∈N′时等式成立　　例2．试证Sn=n3+

3、(n+1)3+(n+2)3能被9整除。　　证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。　　②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3)　　由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。综上所述：命题成立。　　点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。　　例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交

4、于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。　　证明：设适合条件的n个平面把空间分成pn个部分，∴pn=n2-n+2　　①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。　　②假设当n=k时，命题成立，即满足命题条件的k个平面把空间分成pk=k2-k+2个部分，　　那么当n=k+1时，即如果再有一个平面a适合条件，那么，在平面α上必有k条交线，　　∴平面α被分成2k个部分，∴pk+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2。∴当n=k+1时，pn=n2

5、-n+2成立。　　综上①②可知对任何n∈N′，命题成立。　　点评：几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等。　　例4．若不等式对一切正自然数n都成立，求自然数a的最大值，并证明你的结论。　　证明：n=1时，，即，所以a<26，而a∈N，所以取a=25，7　　用数学归纳法证明：。　　(1)n=1时，已证。　　(2)假设当n=k时，有：，则当n=k+1时，有　　　　所以①②知对一切n∈N′都有：。　　例5．在{an}中，已知a1=-lga,an-1=an-lgan-1(n≥2)，先求出a

6、2,a3,a4，推测{an}的通项公式，并用归纳法证明。　　解析：因为an-1=an-lgan-1(n≥2)，所以an=an-1+(n-1)lga(n≥2)，　　又a1=-lga,所以a2=a1+(2-1)lga=-lga+(2-1)lga=(-1+2-1)lga,a3=a2+(3-1)lga=(-1+2-1+3-1)lga,　　a4=a3+(4-1)lga=(-1+2-1+3-1+4-1)lga。　　由此推判。　　（1）n=1时，，猜想正确。　　（2）假设n=k时，猜想正确，即，　　则，n=k+1时，猜想正确。

7、　　由（1）（2）知，对于任意n∈N′，都有。　　训练题：　　1．用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数（n≥4,n∈N）时，f(k+1)与f(k)的关系是______。　　2．k为正偶数，p(k)表示等式，则p(2)表示等式______。p(4)表示等式______。由p(k)p(k+2)时，可在p(k)两边同时加上____。7　　3．证明34n+2+52n+1(n∈N′)能被14整除。　　4．证明(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3·5……(2n-1)(n∈N′)　　′5．已知。　　（1）计算及的值

8、。（2）归纳出(n∈N′)的值，再用数学归纳法加以证明。　　参考答案：　　1．f(k+1)=f(k)+k-1　2．　　3.①n=1时，36+53=61×14能被14整除。　　②假设n=k时命题成立，那么n=k+1时，也能被14整除（以下略）。　　4．①当n=1时，等式左边=2，等式右边=2，∴等式成立。　　②假设n=k(k∈N′)等式成立，即(k+1)(k+2)……(k+