2019_2020学年高中数学第二章解三角形3解三角形的实际应用举例跟踪训练含解析北师大版必修520210127246.doc

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1、第二章解三角形§3　解三角形的实际应用举例[A组　学业达标]1．(2019·潮州高一检测)海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处观察C，其方向是北偏东65°，则B，C之间的距离是(　　)A．aB.aC.aD.a解析：如图所示，由题意可知AB＝a，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠C＝45°，在△ABC中，由正弦定理得＝，即BC＝＝a.故选D.答案：D2．(2019·遂宁高一检测)如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，测出A

2、C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°.则A，B两点间的距离为(　　)A．50mB．50mC．50mD．50m解析：在△ABC中，∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝50.故选A.答案：A3．(2019·永州高一检测)如图，在热气球C正前方有一高为a的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为(　　)A.aB.aC.aD.a解析：由题意，∠BCA＝∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝a，AC＝a，△ADC中，CD＝ACsin60°＝a，故选D.答案：D4．如图所

3、示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C相对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡的坡角为θ，则cosθ＝(　　)A.B.－1C．2－D.解析：在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝＝50(－)(m)．在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BDC＝＝＝－1.由题图知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1，故选B.答案：B5．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C处的乙船，现乙

4、船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于(　　)A.B.C.D.解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，得∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.故选B.答案：B6．有一段长为10m的斜坡，它的倾斜角为75°，在不改变坡高的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸

5、________m.解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝10(m)．答案：107．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时．解析：设t小时时，B城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°＝302，即4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.故

6、t1－t2

7、＝＝＝1.答案：18．在点O观测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点P，一分钟后

8、，该物体位于点Q，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于点R，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ＝________．解析：由物体做匀速直线运动，得PQ＝QR，不妨设其长度为1.如图，在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ.在△OPR中，由正弦定理，得＝＝.同理在△ORQ中，由正弦定理，得＝＝，所以·＝·＝tan∠OPQ，所以tan∠OPQ＝＝.答案：9．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方

9、这两支精锐部队之间的距离．解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝a，∵＝，∴BC＝a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴AB＝a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.10．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12nmile，渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从