2019_2020学年高中数学第二章解三角形3解三角形的实际应用举例巩固提升训练（含解析）北师大版

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1、3解三角形的实际应用举例　　　[A　基础达标]1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点间的距离为(　　)A．50m　　　　　　　B．50mC．25mD．m解析：选A.由正弦定理得＝.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，故AB＝＝＝50(m)．2.如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为(　　)A．15米

2、B．15米C．15(＋1)米D．15米解析：选D.在△BCD中，由正弦定理得BC＝＝15(米)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝15(米)．故选D.3．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为(　　)A．20分钟B．40分钟C．60分钟D．80分钟解析：选B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos120°＝，解得t＝(负值舍去)，小时＝40分种，即舰艇与

3、渔船相遇的最短时间为40分钟．4．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1km/h)(　　)A．14.5km/hB．15.6km/hC．13.5km/hD．11.3km/h解析：选C.由物理学知识，画出示意图，AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，在△ADC中，由余弦定理得AC＝＝＝≈13.5.5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东40°B．北偏西10°C

4、．南偏东10°D．南偏西10°解析：选B.如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，因为AC＝BC，所以∠A＝∠ABC＝＝50°，所以∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2mm，AB＝mm，则∠ACB＝________．解析：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝－.因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.答案：7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水

5、柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________m.解析：设水柱的高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50m.答案：508．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么

6、x＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝＝＝.答案：9．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度．(2)求sinα的值．解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α

7、，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos120°＝78400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，即sinα＝＝＝.10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解：依题意得，CD＝km，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BD