§3解三角形的实际应用举例(北师大必修五)

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1、8/25/20211.能根据题意建立数学模型，画出示意图.（重点、难点）2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量距离、高度、角度有关的实际问题.(重点)8/25/20218/25/2021二、测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何的知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决.8/25/2021解三角形实际应用问题的思路8/25/2021三、测量角度问题1.测量角度，首先应明确方向角的含义.2.解决

2、与角度有关的问题，可以转化为求角的函数值问题，如果是用余弦定理求得角的余弦，则该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦,就需要讨论解的情况.8/25/2021在实际问题中,一般测量哪些角度？提示：一般情况下,若测量高度,则需测量仰角或俯角;若测量距离或角度,则需测量方向角.8/25/2021测量高度问题1.测量高度问题的方法:（1）测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系．（2）测量底部不

3、能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．8/25/20212.俯角和仰角的概念：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角（如图）.8/25/2021【例1】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.8/25/2021【审题指导】本题可利用三角形的外角

4、与其两不相邻内角的关系定理,寻找BC、AC及CD、AD之间的关系，再利用正弦定理和直角三角形的知识求解;也可利用方程思想求解.8/25/2021【规范解答】方法一：（用正弦定理求解）由已知可得，在△ABC中，AC=BC=30，在△ACD中，AD=DC=，∠ADC=180°-4θ，∴由正弦定理得因为sin4θ=2sin2θcos2θ∴cos2θ=,得2θ=30°，8/25/2021∴θ=15°，∴在Rt△ADE中，AE=ADsin60°=15.答：所求角θ为15°，建筑物高度为15m.方法二：（设方程

5、来求解）设DE=x，AE=h在Rt△ACE中,(+x)2+h2=302在Rt△ADE中,x2+h2=()2两式相减，得x=,h=15，∴在Rt△ACE中,tan2θ=∴2θ=30°,θ=15°.答：所求角θ为15°，建筑物高度为15m.8/25/2021【变式训练】如图，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高为AB=20m，求山高DC.8/25/2021【解析】在△ABC中，AB=20，∠ABC=90°-60°=30°，∠ACB=90°-(45°＋30°)=15

6、°，由正弦定理得BC=在Rt△BCD中，CD=BC·sin∠CBD=20(＋1)·sin60°≈47.3(m)，∴山高约47.3m.答：山高DC约为47.3m.8/25/2021测量距离问题1.求距离问题要注意以下两点:（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.8/25/20212.方向角:方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向

7、作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成：正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题中有关术语的准确含义.8/25/2021【例2】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？8/25/2021【审题指

8、导】求解的目标是CD的长度，在△DBC中，BD可以求出，又已知BC和∠CBD，根据余弦定理即可求出CD.【规范解答】由题意知AB=5（3+）,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°.又sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°=8/25/2021在△ABD中，由正弦定理得：∴BD=在△DBC中，BC=，∠DBC=60°，CD2=300＋1200-2×=900⇒CD=30，t==1（小时）．答：救援船到达D点