15-16版：§3--解三角形的实际应用举例(创新设计)

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1、§3解三角形的实际应用举例［学习目标］1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决2巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.〒预习导学全挑战自我，点点落实［知识链接］在下列各小题的空白处填上正确答案：⑴如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.（如图所示）（乃如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度Z比,B

2、ji=iana=^i为坡比，a为坡角）.（3）东南方向：指经过目标的射线是正东和•正南的夹角平分线.（4）方位角：从某点的北方向线起，业针方向到目标方向

3、线之间的水平夹角，如方位角45°,是指北偏东45。，即东北方向.［预习导引］1.仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和冃标视线的夹角，冃标视线在水平视线上方时叫仰角,冃标视线在水平视线下方时叫他鱼（如图所示）.2.方向角：相对于某一正方向的水平角.（如图所示）①北偏东a即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向.②北偏西a即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.③南偏西等其他方向角类似.要点一测量距离问题例1某观测站C在目标力的南偏西25。方向，从/出发有一条南偏东35。走向的公路，在C处测得与c相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向力走去，走20千米到达D此时测得CD为21千米，

4、求此人在D处距/还有多少千米?如图所示，易知ZCAD=25q+350=6O°9在△BCD中，cosB=312+202-2122X311X2023亓31X^RdinRJIA31在厶個C中，AC=sinZCAB=sin60o=24（米）.由BC2=AC2+AB2~2ACABcosACAB得^2-24^-385=0,解得AB=35或仙=一11（舍去）.:.AD=AB-BD=15（千米），故此人在D处距A还有15千米.规律方法测量距离问题分为两种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达.解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余

5、弦定理求解.A跟踪演练1如图所示，设/、B两点在河的两岸，一测量者在/的同侧，在/所在的河岸边选定一点C,测出/C的距离为50m,ZACB=45°,ZCMB=105。，则/、E两点的距离为（）A.5O/2mB.5O/3mC.25^/2m°25护ni答案A解析VZACB=45ZCAB=5°,5=180°-45°-1050=30c,由正弦定理:ACABsinBsinC'50X返得毎奇^=5时）.2要点二测量高度问题例2如图所示，/、B是水平面上的两个点，相距800m,在力点测得山顶C的仰角为45°,ZBAD=20°f又在B点测得上力BD=45。,其中D是点C到水平面的垂足，求山高C

6、D解白于CQ丄平面ABD.ZC4Q=45。，所以CD=AD.在中，180°-45°-120°=15°,,AB_AD®sin15o=sin45O；AD•g800pAB-sin45倚A"sin15。=需—迈4所以CD=/D=800（羽+l）（m）.即山的高度为800（萌+1）in规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪演练2地平面上有一旗杆设为OD,已知地平面上的一基线力8,AB=200m,在力处测得P点的仰角为ZOAP=30°f在B处测得P点的仰角

7、为kOBP=45。,又测得ZA08=60°,求旗杆的高仕解如图，ZO4P=30。,上OBP=45。,ZAOB=60°,/3=200m,在△Q4P中，TOP丄力0,AZJ（9P=90°,则^=tan30°,同理在△BOP中，ZBOP=90°,且ZOBP=45。,：・OB=OP=h,在△CM3中，由余弦定理，得AB2=OA2+OB2~20A-05-cosZAOB,即2002=3A2+h2-2^3/?2-cos60°,竝/日-200解侍h=~I厂m.V4-V3•i亠心200■•旗杆咼为~I厂m.V4-A/3要点三测量角度问题例3如图，在海岸/处发现北偏东45。方向，距力处（V3-1）海里的B处有

8、一•艘走私船.在A处北偏西75。方向，距力处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从3处向北偏东30。方向逃窜.问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解设缉私船应沿CD方向行驶/小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD=^t海里,BD=t海里.在△MBC中，由余弦定理，得BC1=AB2+AC1-2ABACcosZBAC=（V3-1）24-