备战2021届高考数学冲破压轴题讲与练15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题（解析版）.doc

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1、专题15圆锥曲线与其它知识的交汇问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律.一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题；二是用向量的坐标表示解决共线问题．(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cosθ＝求角．(2)当a，b不共线时，

2、有〈a，b〉为：直角⇔a·b＝0；钝角⇔a·b<0(且a，b不反向)；锐角⇔a·b>0(且a，b不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等.【压轴典例】例1．（2020·上海高三专题练习）设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的值为()A．B．C．D．【答案】B【详解】设点为曲线与在第一象限内的交点，由曲线的方程可得、，再由椭圆的定义可得：，又因曲线的焦点和曲线

3、的焦点相同，再由双曲线的定义可得：，∴，，中，由余弦定理可得：，所以.例2．（2020·江苏南京市·高三）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆Γ与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经过与Γ反射，又回到了点历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经Γ两次反射后又回到了点历时秒；若则Γ与的离心率之比为（）A．B．1：2C．2：3D．3：4【答案】C【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，在左图中，由椭圆

4、定义可得：①，由双曲线定义可得：②，①②得：，的周长为：；在右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线过，的周长为，又两次时间分别为，，且，光线速度相同，，，椭圆与双曲线焦点相同，，．例3.（2020浙江温州中学高三）设点是长方体的棱的中点，，，点在面上，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.一条线段D.一段圆弧【答案】C【解析】设在平面的投影为，平面与平面所成的锐二面角为则，在平面的投影为中点，平面与面所成的锐二面角为，则，故即得到，即到直线的距离为定值

5、，故在与平行的直线上，又点在面上，故轨迹为一条线段.例4.（2020·广州市天河中学）(多选)已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）参考数据（）A．椭圆的离心率B．双曲线的离心率C．椭圆上不存在点A使得D．双曲线上存在不同的四个点Bi(i=1,2,3,4),使得【答案】ABD【详解】如图，不妨设，双曲线N的两条渐近线与椭圆M在第一象限的交点坐标为，由正六边形的性质，可得，,，椭圆M的长轴长,∴,,∴当为椭圆的上顶点时为钝角，,故C错误；椭圆M离心率，故A正确；双曲线

6、N的渐近线方程为,∴，又∵,,双曲线N的离心率为,故B正确；以为直径作圆，显然与双曲线N有四个不同的交点，这四个点关于所张的角为直角，故D正确.例5.（2020·四川石室中学高三）设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由双曲线，则，设，则，可得，则，所以，所以，设，则，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，即当取得最小值时，，所以双曲线的离心率为，故选D．例6．（2020·全国高三专题练习）已知点P在曲线C：上，曲线

7、C在点P处的切线为，过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为_______．【答案】1【详解】依据题意直作出图象，如下：设，,则：，.因为，所以曲线C在点P处的切线斜率为：，又过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，所以且，所以，所以直线的方程为：联立直线与抛物线方程可得：，整理得：.所以，又因为OP⊥OQ，所以,即：，整理得：.所以，解得：所以，所以点P的纵坐标为。例7．（2020·上海浦东新区·高三一模）已知椭圆，、为的左、右焦点.（1）求椭圆的焦距；（2）点为椭圆一点，与平行的直

8、线与椭圆交于两点A、B，若面积为，求直线的方程；（3）已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，椭圆和双曲线上满足的所有点组成曲线．若点是曲线上一动点，求的