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《备战2021届高考数学冲破压轴题讲与练10 数列与不等式的综合问题（解析版）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题10数列与不等式的综合问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性
2、、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较． 【压轴典例】例1．（2020·全国高三专题练习）已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，设，，则当时，的最小值是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【详解】是以1为首项，2为公差的等差数列，，是以1为首项，2为公比的等比数列，，，而，所以数列是单调递增数列，且，，，，所以．所以当时，n的最小值是10．例2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）设是无穷数列，若存
3、在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，则，对于成立，且对于成立，即，对于成立，且，对于成立，所以，且，解得，例3.（2020·江西师大附中高考模拟）数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】第一行为，其和为，可以变形为：；第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；第三
4、行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；依此类推：第行的和：；则前行共：个数前行和为：满足，而第六行的第个数为：，则满足的最小正整数的值为：例4．（2020·长沙市·湖南师大附中高三）已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是（）A．数列的通项为B．数列的通项为C．当时，D．【答案】ABD【详解】设直线，联立，得，则由，即，得（负值舍去）所以可得，，所以AB对；因为，因为，则，即，所以，故C错；因为，令，.可得在上递减，可知在上恒成立.又.所以成立.故D正确.例5．（2020·深圳实验学校高中部高三）设为等比数列的前项和，满足，且，，成等差数列，则
5、下列结论正确的是（）A．B．C．若数列中存在两项，使得，则的最小值为D．若恒成立，则的最小值为【答案】ABD【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，所以，；；所以A，B正确；若，则，，所以，所以，则或或或，此时或或或；C不正确，，当为奇数时，，当为偶数时，，又关于单调递增，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，所以，D正确，例6.（2018·江苏高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】设，则，由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足
6、条件的最小值为.例7．（2020·河南洛阳高三模拟）记首项为，公差为的等差数列的前项和为，若，且，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由，得.因为，所以，.所以当时，，当时，.（1）当时，由得.因为，所以.（2）当时，由得.因为，所以.综上所述，的取值范围是.例8．（2019·四川重庆南开中学高考模拟）在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为_____．【答案】9【解析】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.例9.(2020·浙江高考·T20)已知数列{an},{bn},{cn}中,
7、a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=·cn(n∈N*).(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列,且公比q>0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列,且公差d>0,证明:c1+c2+…+cn<1+.【解析】(Ⅰ)b1=1,b2=q,b3=q2,且b1+b2=6b3,即1+q=6q2,又q>0得q=,所以bn=,bn+2=,cn+1=cn=4cn,所以=4,所以{cn}是首项c1=1,公比为4的等比数列,cn=4n-1,由an+1-an=cn=4n-1得an-a1=40+41+…+4
