备战2021届高考数学冲破压轴题讲与练02 曲线的切线问题探究（原卷版）.doc

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1、专题02曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1.已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．（1）已知切点求切线方

2、程：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x0，y

3、0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是()A．B．C．D．例2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　)A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1例3．（2020·江苏高三期中）（多选）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次

4、函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（）A．曲线在点处的切线方程为B．C．曲线关于点对称D．当时，例4．（2020·河北唐山高三）(多选)设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（）A．B．C．D．例5．（2020·湖北武汉高三）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是（）A．0B．C．D．例6．（2020·梅河口市第五中学高三）已知函数，曲线在点处与点处的切线均平行于轴，则的取值范围是（）A．B．C．D．例7.（2019·全国高考真题）已知函

5、数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.例8.（2020山东曲阜高三）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．，设例9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.例10.(2020·北京高考·T19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲

6、线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.例11.（2019·山西太原高三）已知函数.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.例12.（2020四川棠湖中学高三）已知抛物线，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；（2）证明：以为直径的圆恒过点M.【压轴训练】1．（2020·河津中学高三）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的线方程为（）A．B．C．D．2．（20

7、20·江苏常州市·高三期中）已知函数，，若曲线在点处的切线是曲线的所有切线中斜率最小的，则（）A．B．1C．D．23．（2020·河南鹤壁高三）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（）A．是偶函数B．C．随的增大而减小D．的面积