2020_2021学年新教材高中数学第六章立体几何初步6.5.2第1课时平面与平面垂直的性质课时作业含解析北师大版必修第二册20210125270.doc

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1、课时分层作业(五十)　平面与平面垂直的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)A．60°　　　　　B．120°C．60°或120°D．不确定C　[∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，如图1所示．图1此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α－l－β的平面角为120°.当点P的位置如图2所示时

2、，图2此时∠FOE＝∠EPF，所以二面角α－l－β的平面角为60°.]2．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FHB　[因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．]3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ

3、，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4B　[根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．]4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)A．平行B．共面C．垂直D．不垂直C　[如图所示，在四边形ABCD中，∵

4、AB＝BC，AD＝CD．∴BD⊥AC．∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C．]5．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(　　)A．B．C．D．B　[如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l，则∠ACO为二面角α－l－β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角．设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sinθ＝＝·＝sin30°·s

5、in60°＝.]二、填空题6．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)二面角D′－AB－D的大小为________．(2)二面角A′－AB－D的大小为________．(1)45°　(2)90°　[(1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－A

6、B－D的大小为90°.]7．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为__________．90°　[如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，即∠DEA＝90°，即所求二面角的大小为90°.]8．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.　[由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以c

7、osα＝＝，cosβ＝，所以cosα∶cosβ＝∶2.]三、解答题9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．[解]　如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1是二面角B－A1C1－B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.10．如图，在四棱锥P－ABCD

8、中，底面A