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《《定积分的简单应用》参考教案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、定积分的简单应用教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。教学重点：几种曲边梯形面积的求法。教学难点：定积分求体积以及在物理中应用。教学过程：一、问题情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？二
2、、数学应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1、求曲线ysinxx[0,2]与直线x0,x2,x轴所围成的图形面积。33223答案：S＝3sinxdxcosx
3、o320变式引申：、求直线y2x3与抛物线y2所围成的图形面积。1x答案：S＝（2x＋3－x2)dx（x23xx3)
4、31323133y2、求由抛物线yx24x3及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。略解：y/2x4，切线方程分别为y4x3、oxy2x6，则所求图形的面积为y=－x2+4x-33x)]dx3[
5、(x)(x2x)]dx＝9S＝2[(x)(x24343264303423、求曲线ylog2x与曲线ylog2(4x)以及x轴所围成的图形面积。略解：所求图形的面积为11(422y)dyS＝【g(y)f(y)dy00（4y22ylog2e)
6、1042log2e4、在曲线yx2(x0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为1.试x12求：切点A的坐标以及切线方程.y=x2略解：如图由题可设切点坐标为（x0,x02)，则切线方程A为y2x0xx02，切线与x轴的交点坐标为OBCxx0x0x
7、02231,0)，则由题可知有S2dx(x2xxx)dxx0(2xx0200012122x01，所以切点坐标与切线方程分别为A(1,1),y2x1总结：1、定积分的几何意义是：在区间[a,b]上的曲线yf(x)与直线xa、xb以及x轴所围成的图形的面积的代数和，即bSx轴上方－Sx轴下方.因此求一些曲边图形的面积要可f(x)dxa以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数ysinxx［０,2］的图像与x轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边
8、梯形面积的方法与步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：（1）x型区域：①由一条曲线yf(x)(其中f(x)0）与直线xa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边b梯形的面积：S＝f(x)dx（如图（1））；a②由一条曲线yf(x)(其中f(x)0）与直线xa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝bbf(x)dx＝
9、－f(x)dx（如图（2））；aa③由两条曲线yf(x)，yg(x)(其中f(x)g(x)）与直线xa,xb(ab)所围成的曲bf(x)－g(x)
10、dx（如图（3））；边梯形的面积：S＝
11、ayyayyf(x)yf(x)bxabxyf(x)yg(x)bax图（1）图（2）图（3）（2）y型区域：①由一条曲线yf(x)(其中x0与直线ya,yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形）的面积可由yf(x)得xh(y)，然后利用＝bh(y)dy求出（如图（4））；,Sa②由一条曲线yf(x)(其中x0）与直线
12、ya,yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由yf(x)先求出xbbh(y)，然后利用S＝h(y)dy＝－h(y)dy求出（如图（5））；aa③由两条曲线yf(x)，yg(x)与直线ya,yb(ab)所围成的曲边梯形的面积，可由yf(x)，yg(x)先分别求出xh1(y)，xh2(y)，然后利用Sb
13、h1(y)h2(y)
14、dy求＝－a出（如图y（6））；yybbbyf(x)yf(x)yf(x)xxayg(x)xaa图（4）图（5）图（6）（二）、定积分求旋转体体积例2：求由曲线y24x,x
15、1所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。分析：（1）分割：将旋转体沿x轴方向将区间[0,1]进行n等分；（2）对区间i1,i上nn2的柱体以区间右端点对应的函数值的平方数f(i)作为底面圆半径的平方，以x1作nni2为圆柱的高，以此圆柱体积近似代替曲边圆柱的体积，即Vix；（）求和f()3nnn2Vf(ix趋近于0时，根据定积分)x；（4）逼近：当分割无限变细时，即i1ii1n1的定义其极限即为旋转体的体积V＝4xdx。01略解：V＝4xdx20（三）、定积分在物理中应用(1)求
