辨析椭圆轨迹.doc

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1、辨析椭圆轨迹——一堂数学习题课实验、观察、发现实录华茂实验学校女中部高二(2)班的学生，在李老师的带领下，不但能熟练地运用几何画板，而且也学会了对一些具体问题引申探索。刚学完椭圆的第一定义和标准方程之后的一节习题课上，老师出示了两道题目：题1：如图1，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2。求从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PQ中点M的轨迹。(高中教科书(试验修订本·必修)《数学》第二册(上)，第95页的例3。)题2：从圆x2+y2=25上任意一点P向x轴作垂直线段PQ，且线段PQ上一点M满足关系式｜PQ｜∶｜MQ｜＝5∶3，求点M的轨迹。(第96页习题6)“请大家研究它们有什么相似或

2、相近的地方?”老师说。(创设探究情境，引起学生思考。)有学生发言了。“都是求圆上动点发出的线段上的定比分点的轨迹。”“垂直于x轴的线段。”“点M都是线段PQ内分点。”“解题方法一样，都可以用代入法求出轨迹方程。”“还都可以利用圆的参数方程，求出轨迹方程。”“点M的轨迹都是椭圆，第一题轨迹方程是等，第二道题的轨迹方程是。”“这是同一类型的题目。”老师：“好，同学们发现了这么多的相同的特征。任何事物总是一分为二的，有相同就有不同，那么这两道题有什么不同呢?”教师依辩证法的一分为二的观点引导学生探索发展。“最大的不同就是点M分线段PQ的定比不同。”一个学生说。“用相同的语言描述不同的特征，

3、就是概括。谁来把这类轨迹特征概括一下?”老师说。“我想只要点M分PQ为任一个定比λ(λ≠-1)，所得点M的轨迹都是椭圆，而且解题方法都是我们昨天学习的代入法求轨迹，还都可以利用圆的参数方程求轨迹。你说对吗？”生1说。“同学们说对吗？”老师把生1的结论交给学生们思考。生2快人快语说：“肯定不对！我们就以题1为例，显然，当λ＝0时，点M与点P重合，轨迹就是圆x2+y2=4。怎么能说都是椭圆?”“还有λ=-2时，点M与点P关于点Q对称，点M的轨迹也是那个圆x2+y2=4。”生3补充说。不同观点的交锋，引起了同学们的纷纷议论。“谁来给我们评析一下?”“生2是对的，从特殊情况入手分析，一下子就

4、发现了生1结论的漏洞，思维敏捷、严谨，批判性强。”生4说，“生l积极思考，勇于探索，得出了具有一般性的结论，尽管有漏洞，但可以修改完善。”生1已经着急了，生怕别人抢在她前边似的，说：“只要λ≠0且λ≠-2，点M的轨迹就一定是椭圆。”“你能肯定吗？”生4问她。“我证过了，点M的轨迹方程是。”“对，从方程中也能看出来，当λ≠0或λ≠-2时，就是椭圆的方程。”“很好，我们不但鼓励大胆猜想，而且更要小心求证，注意一般性结论的完备性和纯粹性。”老师小结。科代表生5好像有所发现：“点M在圆内和在圆外，得到的椭圆不同！”“是不同，点M在圆外时，它的轨迹是一个较大的椭圆。”有人附和。看来，同学们对这

5、个问题思考还在继续。“谁来在电脑上给我们用几何画板作一个λ可变的点M的轨迹?”同学都很踊跃。老师就说，“只能上来一个人。生6，你来吧。其他同学在下面可以给她参谋，也可以根据生1的轨迹方程来研究。”一会儿，有人说：“并不仅仅是点M在圆外时的椭圆较大，而且这时的椭圆的焦点在y轴上了，是竖直放置的椭圆。点M在圆内时，得到的椭圆小一些，焦点在x轴上，水平放置的。”生6的几何画板作图，此时呈现在大屏幕上了(图2)。随着定比控制点的移动，点M的轨迹也随之变化，都印证了这一新的结论。埋头写算的生7得到了精确的结论：“当0＜λ＜1或λ＜-2时，椭圆水平放置；当-1＜λ＜0或-2＜λ＜-1时，椭圆是竖

6、直放置的。”“随着大家的积极探索、认真计算和实验，我们的结论越来越丰富，所掌握的方法手段也得到了更灵活的运用，像数形结合、想算并举、多媒体等。”生6这时打断了老师的评论：“老师，我想重新作图。”“又有什么新的想法了?”老师问她，也问同学们。“我想，如果改变线段PQ垂直于x轴这个条件，点M的轨迹会是什么?”老师一边示意她上讲台来做，一边鼓励在座的同学，大胆猜想轨迹。只有一两个同学小声地说：“还是椭圆吧。”语气透出一点怀疑。教室里一片寂静，大家都看着大屏幕上不断变化的图象，期待着来自电脑的答案。大家都知道这次作图比前一次作图的难度增大了。因为我们要看到线段PQ倾斜角不同时，点M不同的轨迹

7、。不一会，屏幕上点M的轨迹出现了(图2)。“哇！椭圆！”改变PQ倾斜角，改变定比λ的值，屏幕上，点M的轨迹也不断地发生变化。“都是椭圆！”“不对！只能说都像椭圆。”“对呀，我们学的椭圆不是这个样子。”因为学生只学了椭圆的第一定义和标准方程。“难道，椭圆就不能斜着放吗？椭圆斜着放就不是椭圆吗?”有力的反驳并没有使质疑者停止思考。“是椭圆，就得符合椭圆的定义，椭圆上的每一个点到两定点的距离和总是同一个常数。找出定点F1和F2，在椭圆上任取点，算它到这两定点的距