三种方法求椭圆轨迹

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1、3、求点的轨迹方程：（1）定义法：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件（已知两焦点的距离或坐标）转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a，b，c.例题：如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．连接AQ，∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q∴

2、AQ

3、＝

4、PQ

5、，∴

6、AQ

7、＋

8、BQ

9、＝

10、PQ

11、＋

12、BQ

13、＝6（＞

14、AB

15、），∴由椭圆的定义可知：点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4∴a=3，

16、c=2∴点Q的轨迹方程为＋＝1.跟踪训练：已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴

17、PB

18、＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距

19、PA

20、＝10－r，即

21、PA

22、＋

23、PB

24、＝10(＞

25、AB

26、)．∴由椭圆的定义可知：点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝

27、AB

28、＝6∴a=5，c=3∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴点P的轨迹方程为＋＝1.6.（2）相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨

29、迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标P(x，y)，已知曲线上动点坐标Q(x1，y1)．(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．例题：如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝.∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.∴点M的轨迹

30、是一个椭圆．跟踪训练：如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且

31、MD

32、＝

33、PD

34、.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型．设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，由已知易得，∵P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.该曲线表示椭圆．（3）直接法：例题：如图，设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．设点M的坐标为(x，y)，∵点A的坐标是(－5,0)，∴直线AM的斜率kAM＝(x≠－5)；同理，直线BM的斜率kBM＝(

35、x≠5)．由已知有×＝－(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±5)．例题变式：若将例题中的－改为a(a<0)，曲线形状如何？设点M(x，y)，则·＝a(x≠±5)．化简得，＋＝1(x≠±5)．(1)当a＝－1时，曲线表示圆x2＋y2＝25(x≠±5)，去掉两点(±5,0)．(2)当a≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±5,0)．当－1

36、0)，若动点P满足·＝6

37、

38、.求动点P的轨迹C的方程．设动点P(x，y)，则＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(1－x，－y)，由已知得－3(x－4)＝6，化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.∴点P的轨迹方程是椭圆C：＋＝1.