求轨迹方程的方法

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1、§2.1　曲线与方程知识点一　直接法求曲线的方程　已知线段AB的长度为10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程是________．解析　设点P的坐标为(x，y)，则A点坐标为(2x,0)，B点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化简得x2＋y2＝25.答案　x2＋y2＝25知识点二　代入法求曲线的方程　已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．

2、分析　由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y＝x2＋3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2＋3即可．解　设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得∴∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，①整理，得y＝3(x－2)2＋1，故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.知识点三　定义法求曲线的方程　设A(1,0)，B(－

3、1,0)，若动点M满足kMA·kMB＝－1，求动点M的轨迹方程．解　如图所示，设动点M的坐标为(x，y)．由题意知：MA⊥MB.所以△MAB为直角三角形，AB为斜边．又因为原点O是AB的中点，19所以，

4、MO

5、=，

6、AB

7、=1，所以，动点M在以O(0,0)为圆心，

8、MO

9、为半径的圆上．根据圆的方程的定义知：方程为x2+y2=1.又因为动点M不能与点A，B重合，所以，x≠±1，所以，动点M的轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1)．知识点四　参数法求曲线的方程　已知定点P(a，b)不在坐标轴上，动直线l过点P

10、，并分别交x轴，y轴于点A，B，分别过A，B作x轴，y轴的垂线交于点M，求动点M的轨迹方程．解　设M(x，y)，并设l：y－b＝k(x－a)，由题意知k存在，且k≠0，则得A(a－，0)，B(0，b－ak)，又AM，BM分别是x轴，y轴的垂线，得M(a－，b－ak)．即消去参数k，得xy－ay－bx＝0.所以动点M的轨迹方程是xy－ay－bx＝0.知识点五　交轨法求曲线的方程　如果两条曲线的方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它们的交点是P(x0，y0)，证明：f1(x，y)＋λf2(x，y)

11、＝0的曲线也经过P点(λ∈R)，并求经过两条曲线x2＋y2＋3x－y＝0和3x2＋3y2＋y＝0的交点的直线方程．解　∵P(x0，y0)是两曲线的交点，∴f1(x0，y0)＝0，f2(x0，y0)＝0，∴f1(x0，y0)＋λf2(x0，y0)＝0.即方程f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的曲线经过P点．①×3－②得9x－4y＝0.即过两曲线的交点的直线方程为9x－4y＝0.考点赏析1.(福建高考)如图，已知点F（1,0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·=·.

12、求动点P的轨迹C的方程.19解　方法一　设点P(x，y)，则Q(1，y)，由·＝·得：(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.方法二　由·＝·得：(·(＋)＝0，∴－)·(＋)＝0，2－2－2＝0，∴

13、

14、＝

15、

16、.所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2＝4x.2.（陕西高考）如图所示，三定点A（2，1），B（0，1），C（2，1）；三动点D，E，M满足=t，=t，=t，t∈［0，1］.(1)求动直线DE斜率的变化范围；(2)求动点

17、M的轨迹方程．解　(1)设D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y)由=t，=t，知（xD2，yD1）=t（2，2），∴同理∴kDE＝＝＝1－2t.∵t∈[0,1]，∴kDE∈[－1,1]．（2）∵t＝t，∴(x＋2t－2，y＋2t－1)＝t(－2t＋2t－2,2t－1＋2t－1)＝t(－2,4t－2)＝(－2t,4t2－2t)．∴∴y＝，即x2＝4y.∵t∈[0,1]，∴x＝2(1－2t)∈[－2,2]．所求轨迹方程为x2＝4y，x∈[－2,2]19　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

18、1．如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是(　　)A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不都满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0答案　D解析　对于命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”的否定是“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲