对椭圆、双曲线轨迹互变的探求.doc

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1、对椭圆、双曲线轨迹互变的探索南京市金陵中学宋辉210005本文研究椭圆与双曲线的轨迹方程满足何种条件可以互相转变.问题1设MN是垂直于椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的一条动弦，A1A2是椭圆的长轴，则动直线MA1与NA2的交点轨迹是双曲线－＝1.证明：设M（acosα，bsinα），N（acosα，－bsinα），A1（－a，0），A2（a，0）.则：MA1的方程y＝（x＋a），NA2的方程y＝（x－a）.设MA1与NA2的交点为（x，y）则有：y2＝·（x＋a）·（x－a）＝（x2－a2）＝（x2－a2）.即：动直线MA1与NA2的交点轨迹是双曲线－＝1.问题2设MN是垂直于

2、双曲线－＝1实轴的一条动弦，A1A2是双曲线的长轴，则动直线MA1与NA2的交点轨迹是椭圆＋＝1.证明：设M（asecα，btanα），N（asecα，－btanα），A1（－a，0），A2（a，0）.则MA1、NA2的方程分别为：y＝（x＋a），y＝（x－a）.设MA1与NA2的交点为（x，y）则有：y2＝·（x＋a）·（x－a）＝（x2－a2）＝－（x2－a2）.即：动直线MA1与NA2的交点轨迹是椭圆＋＝1.以上两个问题说明椭圆与双曲线的轨迹方程满足一定条件可以互相转变，那么是否存在其它的条件可使椭圆与双曲线的轨迹方程可以互相转变，经过探究我们有以下结论：定理1设MN是

3、斜率为k（k≠0）的椭圆＋＝1(a>b>0)的一条动弦，A1A2是椭圆的长轴，则动直线MA1与NA2的交点轨迹方程是双曲线：ka2y2－kb2x2＋2b2xy＋ka2b2＝0.证明：设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），A1（－a，0），A2（a，0）.则MA1、NA2的方程分别为：4y＝（x＋a）.①y＝（x－a）.②由①化简得：y＝tan（x＋a），得tan＝.③由②化简得：y＝－cot（x－a），得tan＝－.④因为k＝＝＝－＝－cot.得tan＝－，tan＝＝－.⑤将③、④代入⑤得：＝－.化简得双曲线的方程为：ka2y2－kb2x2＋2b2xy

4、＋ka2b2＝0.定理2设MN是斜率为k（k≠0）的双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条动弦，A1A2是双曲线的长轴，则动直线MA1与NA2的交点轨迹方程是椭圆：ka2y2＋kb2x2－2b2xy－ka2b2＝0.证明：设M（asecα，btanα），N（asecβ，btanβ），A1（－a，0），A2（a，0）.则MA1、NA2的方程分别为：y＝（x＋a）.①y＝（x－a）.②由①化简得：y＝（x＋a）＝tan（x＋a），得tan＝.③由②化简得：y＝＝cot（x－a），得tan＝.④k＝＝＝＝.＝＝⑤将③、④代入⑤得：＝k.化简得椭圆的方程为：ka2y2＋kb2x2－2b

5、2xy－ka2b2＝0.定理3设P为曲线L1：＋＝1（a>b>0）上的一个动点，过点P作L1的切线与曲线L2：y2＝2qx(q>0)相交于M、N两点，曲线L2在M、N两点处的切线相交于点Q，则点Q4的轨迹方程为：－＝1.证明：设P（x0，y0），Q（x1，y1），点P在曲线L1：＋＝1上，故：＋＝1.（1）过P（x0，y0）的曲线L1的切线方程为：＋＝1.（2）QM、QN为曲线L2：y2＝2qx(q>0)的两条切线，切点弦MN所在直线方程为：y1y＝q(x＋x1).（3）由于（2）、（3）表示同一条直线，故＝＝.得：x0＝，y0＝－.（4）将（4）代入（1）化简得：－＝1.故

6、点Q的轨迹方程为：－＝1.定理4设P为曲线L1：－＝1（a>0，b>0）上的一个动点，过点P作L1的切线与曲线L2：y2＝2qx(q>0)相交于M、N两点，曲线L2在M、N两点处的切线相交于点Q，则点Q的轨迹方程为：＋＝1.证明：设P（x0，y0），Q（x1，y1），点P在曲线L1：－＝1上，故：－＝1.（1）过P（x0，y0）的曲线L1的切线方程为：－＝1.（2）QM、QN为曲线L2：y2＝2qx(q>0)的两条切线，切点弦MN所在直线方程为：y1y＝q(x＋x1).（3）由于（2）、（3）表示同一条直线，故＝＝.得：x0＝，y0＝.（4）将（4）代入（1）化简得：＋＝1.

7、故点Q的轨迹方程为：＋＝1.4参考文献1.宋辉.有心圆锥曲线的一个有趣现象.中学数学教学,2009,1通讯地址南京市金陵中学E－mailsonghuijln666@126.com邮编210005电话137051960864