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《2020_2021学年高中数学第五章数列5.5数学归纳法课后习题含解析新人教B版选择性必修第三册20201231285.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章数列5.5 数学归纳法课后篇巩固提升基础达标练1.(2020巴楚第一中学高二期中)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于( )A.1B.2C.3D.0解析因为多边形的边数最少是3,即三角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C.答案C2.设Sk=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k,则Sk+1为( )A.Sk+12k+2B.Sk+12k+1+12k+2C.Sk+12k+1-12k+2D.Sk+12k+2-12k+1
2、解析因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=1k+1+1k+2+…+12k,①得Sk+1=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12(k+1).②由②-①,得Sk+1-Sk=12k+1+12(k+1)-1k+1=12k+1-12(k+1).故Sk+1=Sk+12k+1-12(k+1).答案C3.(2020宁波高二月考)用数学归纳法证明1n+1+1n+2+…+13n≥56时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是( )A.13k+1+13k+2+13k+3B.13k+1+13k+2-23k+3C.13
3、k+3-1k+1D.13k+3解析当n=k时,左边为1k+1+1k+2+…+13k,当n=k+1时,左边为1k+2+1k+3+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3,所以左边需添加的项是13k+1+13k+2+13k+3-1k+1=13k+1+13k+2-23k+3,选B.答案B4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为 . 答案当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立5.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1
4、·(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是 . 解析当n=k时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k),当n=k+1时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1),由k到k+1需添加的因式为2k+2.答案2k+26.(2020陕西西安一中高二期中)用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.则当n=
5、k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).所以当n=k+1时,命题成立.综合(1)(2)可知,原命题成立.7.(2020江西南昌二中高二期末)数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+1Sn-2(n∈N+).(1)求S1,S2,S3,S4的值;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.解(1)当n=1时,∵a1=S1=S1+1S1-2,∴S1=12.又a2=S2-S1=S2+1S2-2,∴S2=23,同理
6、S3=34,S4=45.(2)猜想Sn=nn+1(n∈N+).下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=1时,结论成立.②假设n=k(k∈N+,k≥1)时结论成立,即Sk=kk+1,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+1Sk+1-2,∴1Sk+1=2-Sk.∴Sk+1=12-Sk=12-kk+1=k+1k+2,即当n=k+1时结论成立.由①②,知Sn=nn+1对任意的正整数n都成立.能力提升练1.利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+…+12n<1(n∈N+,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左
7、端的变化是( )A.增加了12k+1这一项B.增加了12k+1和12k+2两项C.增加了12k+1和12k+2两项,同时减少了1k这一项D.以上都不对解析不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为1k+1k+1+1k+2+…+12k;当n=k+1时,左端为1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2,对比两式,可得结论.答案C2.已知关于自然数n的命题P(n),由P(k)成立可以推出P(k+1)成立,若P(6)不成立,则下面结论正确的是( )A.
8、P(7)一定不成立B.P(5)可能成立C.P(2)一定不成立D.P(4)不一定成立解析∵P(n)对n=6不成立,无法判断当n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n<6时,P(n)一定不成立,故D错
