资源描述：
《2020_2021学年新教材高中数学第五章数列5.5数学归纳法学案含解析新人教B版选择性必修第三册20210326297.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考5.5 数学归纳法必备知识·素养奠基数学归纳法(1)概念:一个与自然数有关的命题,如果只要完成这两个步骤,就可以断定命题对大于等于n0的所有自然数都成立.(2)证明形式:记P(n)是一个关于正整数n的命题.条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.结论:P(n)为真.(1)验证的第一个值n0一定是1吗?提示:不一定,如证明“凸n边形对角线的条数f(n)=”时,第一步应验证n=3是否成立.(2)在第二步证明中,必须从归纳假设用综合法证明吗?提示:不是,在归纳递推中,可以应用综合法、分析法、反证法、放
2、缩法等各种证明方法.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)-13-/13高考(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(2)不管是等式还是不等式,用数学归纳法证明时由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( )(3)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( )提示:(1)×.也可以用其他方法证明.(2)×.有的增加了不止一项.(3)√.观察左边的式子可知有n+3项,所以验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.2.已知f(n)=+++…+,则(
3、 )A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++【解析】选D.结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数共有n2-n+1个,且f(2)=++.3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到( )A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+
4、2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1【解析】选D.因为将式子:1+2+22+…+2n-1=2n-1中n用k+1替换得:当n=k+1时,有1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.-13-/13高考关键能力·素养形成类型一用数学归纳法证明等式【典例】用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+,n∈N+.【思维·引】等式的左边有2n项,右边有n项,左边的分母是从1到2n的连续正整数,末项与n有关,右边的分母是从n+1到n+n的连续正整数,首、末项都
5、与n有关.【证明】(i)当n=1时,左边=1-=,右边=,等式成立;(ii)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即1-+-+…+-=++…+,那么当n=k+1时,左边=1-+-+…+-+-=+-=++…+++=++…++=右边,所以当n=k+1时等式也成立.综合(i)(ii)知对一切n∈N+,等式都成立.【内化·悟】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时的关键是什么?要注意什么?提示:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.
6、【类题·通】-13-/13高考数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.(3)利用假设是核心在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”也成立,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学
7、归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.【习练·破】用数学归纳法证明:+++…+=(n∈N+).【证明】(i)当n=1时,左边==,右边==.左边=右边,所以等式成立.(ii)假设n=k(k∈N+且k≥1)时等式成立,即有+++…+=,则当n=k+1时,+++…++-13-/13高考=+====.所以当n=k+1时,等式也成立,由(i)(ii)可知,对于一切n∈N+等式都成立.【加练·固】用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N+).【证明】(i)当n=1时,左边=12,右边=×1×(4×1-1)=1,左
8、边=右边,等式成立.(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,即12+32+52+
