函数的值域与方程有解的关系--罗吉兵.doc

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1、函数的值域与方程有解的关系枣阳市第二中学罗吉兵函数的值域是指当自变量在定义域内取“遍”所有值时所得到的函数值的集合。根据值域的概念，对于函数y=f(x)而言，y在值域内任取一个值，都有定义域内的x值(可以不止一个)与之对应，即关于x的方程f(x)-y=0在定义域内有解。而对于不属于值域的y值，则在定义域内没有x值与之对应，即关于x的方程f(x)-y=0在定义域内无解，这样我们就得到了一个关于函数与方程之间的一个等价关系：函数y=f(x)，x∈D(D为定义域)的值域就是关于x的方程f(x)-y=0在D内有解的y的取值范围，反之亦然。用这个命题，可以解决一些函数值域及方程有解的问题

2、。1.将函数值域转化为方程有解问题例1求函数y=的值域。解由y=可得，，即的三角方程有解的条件是。解得。故原函数的值域为。例2求函数y=x-的值域。解原函数可化为x-y=，即x>y且(x-y)=2x+1，亦即x>y且x+2xy+1-y=0，原题即求关于x的方程x+2xy+1-y=0在(y,+∝)有解的条件。记f(x)=x+2xy+1-y=0，显然有f(y)=2y+1>0。则依题意可得，解得。故原函数的值域为。2.将方程有解的问题转化为值域问题例3已知关于x的方程2+a·2+a+1=0有实根。求实数a的取值范围。分析本题可以直接从方程的角度着手。但若将方程变形为a=-，即将a视

3、为x的函数，将原问题转化为求此函数的值域，不失为一种很好的方法。令2+1=t，则t>1，于是此即为所求的a的取值范围。例4求使方程有实数解的实数m的取值范围。解原方程等价于原问题等价于方程（1）在（-1，1）内有解的实数m的取值范围，即等价于函数的值域。令1-x=t,则t∈(0,2)..故m的取值范围为.