函数的单调性与值域的关系.doc

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1、函数的单调性和值域1．函数单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当<时，都有f()()，，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数；如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。2.函数单调性的证明方法，通常用两种方法证明：①定义法②导数法（1）利用定义法证明函数单调性的一般步

2、骤是：①取值②作差（有时也可作商）③变形④定号⑤作出结论判断.用定义法证明函数的单调性时，要比较f()与f()的大小，最常用的方法是作差（或作商）比较法。（2）用导数法证明函数单调性的理论为：若函数y=f(x)在某区间内可导，且满足>0，则f(x)在该区间上单调递增；若满足<0，则f(x)在该区间上单调递减。3.函数单调性的应用：（1）比较（函数值）大小（2）求函数的值域或最值14/14（3）解、证不等式（4）作函数的图象（5）讨论方程根的分布。4．判断函数单调性的方法：（1）常用方法有：定义法、导数法、图象法、特殊值法（主要用于解选择题）（2）

3、利用有关于单调性的一些结论：①奇函数在其对称区间上单调性相同；②偶函数在其对称区间上单调相反；③在公共定义域内：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数.注意：f(x)为增函数,若a>0,则af(x)为增函数,若a<0,则af(x)为减函数.(3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性(4)利用复合函数的“同增异减”原则，若f(x)与g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则复合

4、函数y=[g(x)]是减函数。（简称同增异减）例如：①函数f(x)=在其定义域内为增函数；②f(x)=函数在其定义域内是减函数。函数f(x)=在定义域(,+∞)内为增函数,在定义域(-∞,﹣)内是减函数5.函数的值域和最值（1）函数的值域（见函数的概念一节）（2）函数的最值14/14①函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：<1>对任意的x∈I，都有f(x)≤M；<2>存在∈I，使得f()=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。②函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：<

5、1>对任意的x∈I，都有f(x)≥M；<2>存在∈I，使得f()=M。那么,称M是函数y=f(x)的最小值。注意：①函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在∈I，使得f()=M；②函数最大（小）值应该所有函数值中最大（或最小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)。6.求函数值域和最值的常用的方法（1）配方法（适用于一元二次函数型）例如，求下列函数的值域①y=-2+5x+6②y=﹣2x﹣3(0≤x≤3)③y=﹣﹣3cosx+3(①(-∞,]②[-4,0]③[0,6])（2）换元法：一元二次函数型或三角代换。通过换元，将函

6、数化为易求值域的函数形式（注意换元后变量的取值范围，以保证变形是恒等的）。例如，求下列函数的值域①y=x-②y=sinx+cosx+sinxcosx③y=x-2+解：①设=t,易知t∈[0,+∞）,且x=,则原函数可化为:y==其中t∈[0,+∞）,当x=0时,有最大值=,14/14即y≤.故所求函数的值域为(-∞,]②设sinx+cosx=t,t∈[-,],则原函数可化为:y=t+（其中t∈[-,]）以下略③设x=2cost,t∈[0,],则原函数可化为:y=2(cost+sinxt)-2,（其中t∈[0,]）以下略(①(-∞,]②[1,)③[

7、-4,-2])（3）利用函数单调性求值域例如，求下列函数的值域①y=+②y=-③y=x-④y=(1≤x≤3)⑤y=+lnx(0

8、∞,]上的增函数.所以f(x)≤f()=,所以原函数的值域为(-∞,]④函数在[1,3]上为增函数所以函数的值域为[1，27]⑤函数在(