二次函数在区间上的最值--罗吉兵.doc

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1、二次函数在闭区间上的最值问题—罗吉兵预备：（1）研究二次函数问题常用方法：配方法与数形结合法；（2）研究最值问题常用方法：单调性法，图象法；（3）开口向上时：①二次函数在闭区间的最大值只可能在两个端点取到，此时只需分两种情况讨论两个端点谁离对称轴距离远（x2-x0≥x0-x1或x2-x0≤x0-x1或）即只需讨论区间中点与对称轴的大小关系②二次函数在闭区间的最小值可能在两个端点或顶点处取到，此时需要分三种情况讨论（对称轴在区间的左边；对称轴在区间的右边；对称轴穿过区间）即只需讨论对称轴与区间的三种位置关系（4）开口向下时：①二次函数在闭区间的最小值只可能在两个端点取到

2、，此时只需分两种情况讨论两个端点谁离对称轴距离远（x2-x0≥x0-x1或x2-x0≤x0-x1或）即只需讨论区间中点与对称轴的大小关系②二次函数在闭区间的最大值可能在两个端点或顶点处取到，此时需要分三种情况讨论（对称轴在区间的左边；对称轴在区间的右边；对称轴穿过区间）即只需讨论对称轴与区间的三种位置关系例1：已知，在区间［0,1］上的最大值为，求的最小值。解：的图象的对称轴为当，即时，＝＝当，即时，＝＝∴＝当时，单调递减，当，单调递增，故＝例2：已知函数的最大值为，求的值分析：令，问题即转化为二次函数的区间最值问题解一：令，，∴，对称轴为，（1）当，即时，，得或（舍

3、去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或解二：分别讨论在端点和顶点处取最值，然后再检验取舍令，，则y=g(t)=-t2+at-(1)若g(-1)=2，则a=-2，此时对称轴为t=-1，函数g(t)在[-1,1]上单调递减，符合题意；(2)若g(1)=2，则a=，此时对称轴为t=，函数g(t)在[-1,1]上单调递增，符合题意；(3)若g()=2，则a=3或-2；当a=3时，对称轴t=[-1,1]，舍去；当a=-2时，对称轴t=-1∈[-1,1]符合综上，的值为或例3．已知，若在［1,3］上的最大值为M（

4、），最小值为N（），令。①求的表达式。②判断的单调性，并求出的最小值。解：①∵∴必为二次函数，对称轴是直线，且当即时，∴＝当即时，∴故②的［］上是减函数，最小值是；在［］上是增函数，练习：已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)在区间[-3/2,2]上的最大值为1，求实数a的值解一：分类讨论当a>0时，分两种情况（根据对称轴与区间中点的关系）当a<0时，分三种情况（根据对称轴与区间的关系）解二：根据连续函数在闭区间上的最值只可能在端点或极值点取到最大值点只可能是端点或顶点取到，故只需讨论f(-3/2)=1,f(2)=1,或顶点处的函数值为1,…结果：a=

5、3/4或a=-3/2-