复习讲义--等差数列.doc

复习讲义--等差数列.doc

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1、§6.2 等差数列及其前n项和2014高考会这样考 1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明;2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题;3.考查等差数列的性质及综合应用.复习备考要这样做 1.准确理解概念,掌握等差数列的有关公式和性质;2.注意不同性质的适用条件和注意事项.1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.3.等差中项如果A=,那么A叫做a与b

2、的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d,(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=n2+n

3、.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn,(A、B为常数).7.等差数列的最值在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最__大__值;若a1<0,d>0,则Sn存在最__小__值.[难点正本 疑点清源]1.等差数列的判断方法(1)定义法:an-an-1=d(n≥2);(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.2.等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd.(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(3)S2n-1=(2n-1)an.3.等差数列与函数在d≠0时,an是关于n的一次函数,一次项系

4、数为d;Sn是关于n的二次函数,二次项系数为,且常数项为0.1.(2012·江西)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.答案 35解析 两个等差数列的和数列仍为等差数列.设两等差数列组成的和数列为{cn},由题意知新数列仍为等差数列且c1=7,c3=21,则c5=2c3-c1=2×21-7=35.2.已知两个数列x,a1,a2,a3,y与x,b1,b2,y都是等差数列,且x≠y,则的值为________.答案 解析 ∵a2-a1=(y-x),b2-b1=(y-x),∴=.3.已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,

5、则a5=________.答案 15解析 ∵{an}为等差数列,∴a3+a8=a5+a6=22,∴a5=22-a6=22-7=15.4.(2011·江西)设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1等于(  )A.18B.20C.22D.24答案 B解析 因为S10=S11,所以a11=0.又因为a11=a1+10d,所以a1=20.5.(2012·辽宁)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于(  )A.58B.88C.143D.176答案 B解析 S11===88.题型一 等差数列基本量的计算例1 (2011·福建)在等差数

6、列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.思维启迪:等差数列基本量的计算,基本思想就是根据条件列方程,求等差数列的首项与公差.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)知an=3-2n,所以Sn==2n-n2.由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五

7、个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.解 (1)由题意知S6==-3,a6

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