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1、课时分层作业(十四)求曲线的方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点→→＝x2－6，则点P的轨P(x，y)满足PA·PB迹方程是________．[解析]→→PB＝(3－x，－y)，PA＝(－2－x，－y)，→→－·－－＋2＝222－，∴2∴PA·＝(3yx－－＋＝xy＝x.PBx)(2x)x6y6[答案]y2＝x2．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的__________条件．[解析]“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”?“曲线C上的点的
2、坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．[答案]必要不充分．平面内有两定点，，且＝，动点→→的P满足
3、PA＋PB＝，则点P3ABAB4
4、4轨迹方程是________．[解析]以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，→→→设A(－2,0)，B(2,0)．∵
5、PA＋PB
6、＝
7、2PO
8、＝4，→∴
9、PO
10、＝2.设P(x，y)，∴x2＋y2＝2，即x2＋y2＝4，∴点P的轨迹方程是x2＋y2＝4.[答案]x2＋y2＝4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________.4【导学号：71392132】第
11、1页[解析]设Q(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上任一点，PQ中点M(x，y)，x0＋4x＝2，x0＝2x－4，则由中点坐标公式得y0－2∴y0＝2y＋2.y＝2，∵Q(x0，0在圆22222200y)x＋y＝4上，∴x＋y＝4，即(2x－4)＋(2y＋2)＝4.∴(x－2)2＋＋1)2＝1即为中点轨迹方程．(y[答案](x－2)2＋(y＋1)2＝15．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是________．[解析]y－0x＋1，即4x－3y＋4＝0，AB由两点式，得直线AB的方程是＝4－02＋1221
12、4x－3
13、y＋4
14、＝2＋1＋4＝5.设C点的坐标为(x，y)，则2×5×5＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.[答案]4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0→2→6．已知AB＝3，A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，OP＝3OA＋1→，则动点P的轨迹方程是________．3OB[解析]22→设P(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)．∵AB＝3，∴x0＋y0＝9，OP＝(x，2→1→2121y)＝3OA＋3OB＝3(x0,0)＋3(0，y0)＝3x0，3y0.23x2x＝3x0，x0＝2x，229222所以1即又x0＋y0＝
15、9，所以4x＋9y＝9，即4＋yy＝3y0，y0＝3y，＝1.[答案]x2＋y2＝14第2页7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．[解析]如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x2－y2＝1(x>3)．91622[答案]x－y＝1(x>3)9168．在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是_____
16、___．[解析]由B，C的坐标分别为(－2,0)，(2,0)得D(0,0)．设A(x，y)，则由AD＝3得x2＋y2＝9，又A为△ABC的顶点，故A、B、C三点不能共线，故点A的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．[答案]x2＋y2＝9(y≠0)二、解答题9．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹C的方程.【导学号：71392133】[解]如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意知，O1A＝O1M，①当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN垂足为H，则H是MN的中点，∵MN＝8，∴O1M＝O1H2＋HM2＝x2＋16
17、.又O1A＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋16，化简整理得y2＝8x(x≠0)．②当O1在y轴上时，O1与原点O重合为一点，O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x.综上，动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.第3页10．如图2-6-5，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．图2-6-5[解]法一：设点M的坐标为(x，y)．∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且1，2过点，llP(2,4)∴PA⊥PB，kPA·kPB
18、＝－1.4－04－2y22－y而kPA＝2－2x(x≠1)，kPB＝2－0，∴1－x·1＝－1(x≠1)．整
