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1、课时作业50 抛物线时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．抛物线y2＝8x的准线方程是( )A．x＝－2B．x＝－4C．y＝－2D．y＝－4解析：2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，故选A.答案：A2．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则
2、AA1
3、＝
4、AF
5、，
6、BB1
7、＝
8、BF
9、，于是M到l的距离d＝(
10、AA1
11、＋
12、BB1
13、)＝(
14、AF
15、＋
16、BF
17、)＝
18、AB
19、＝半径，
20、故相切．答案：C3．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A．－B．－C.D.解析：抛物线方程可化为x2＝－，设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知－y0＝1⇒y0＝－.答案：B4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )A．(2，±)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2，)解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，设A点坐标为(x0，y0)，则(x0，y0)·(1－x0，－y0)＝－4，即x0(1－x0)－y＝－4.又y＝4x0，得x＋3x0－4＝0，解得x0＝1或x0＝－
21、4(舍去)，∴A(1，±2)．答案：B5．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则
22、
23、为( )A.B.pC.pD.p解析：过A作AD⊥x轴于点D，令FD＝m，则FA＝2m，p＋m＝2m，m＝p.∴OA＝＝p.答案：B6.设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，
24、BF
25、＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于( )A. B.C. D.解析：由
26、BF
27、＝2小于点M到准线的距离(＋)知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为，代入得
28、y2＝3，则B(，－)(另一种可能是(，))，那么此时直线AC的方程为＝，即y＝，把y＝代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，则有y＝2，即A(2,2)，那么S△BCF∶S△ACF＝BC∶AC＝(＋)∶(2＋)＝4∶5.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点与双曲线－y2＝1的左焦点重合，则p的值为________．解析：双曲线－y2＝1的左焦点为(－2,0)，∴－＝－2，解得p＝4.答案：48．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________．解析：设抛物
29、线方程为x2＝－2py，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2.故水面宽4米．答案：4米9.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：图1直线AB的方程为y＝x－，由消去y得x2－3px＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝3p.根据抛物线定义，
30、BF
31、＝x2＋，
32、AF
33、＝x1＋，∴
34、AB
35、＝x1＋x2＋p＝4p＝8.∴p＝2.答案：2三、解答题(
36、共55分)10．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解：(1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3和32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x，或x2＝－y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为y2＝－60x或x2＝－20y.11.图2如图2，
37、过点F(1,0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．(1)若
38、AB
39、＝8，求直线AB的方程；(2)记抛物线C的准线为l′，设直线OA、OB分别交l′于点M、N，求·的值．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
40、AB
41、＝8，即x1＋x2＋p＝8，∴x1＋x2＝6.∵
42、AB
43、>2p，∴直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)．由方程组消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，即＝6，得k＝±1.∴直线AB的方程是x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(2)①当直线l的斜率不存在时，·＝·＝x1x2＋y1
