2020_2021学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式学案含解析新人教A版选修4_5.doc

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1、2　基本不等式考　纲　定　位重　难　突　破1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.重点：1.两个正数的算术平均与几何平均．2.定理1和定理2(基本不等式)．难点：利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.授课提示：对应学生用书第3页[自主梳理]两个定理及算术平均与几何平均1．算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均．2．两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2＋b2≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时等号成立定

2、理2≥(a，b∈R＋)当且仅当a＝b时等号成立3.利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，(1)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；(2)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．[双基自测]1．设02ab，a＋b>2，又∵0

3、y的最大值为(　　)A．2B．3C．12D．解析：∵x，y为正数，且1＝＋≥2，∴≤，∴xy≤3，所以xy的最大值为3，选B.答案：B3．若a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的是(　　)A．ab≤B．a2＋b2≤C．a2＋b2>D．ab≤解析：∵1＝a＋b≥2，∴ab≤，故A错，D对．答案：D4．若a∈(0,1)，则a＋的最小值是________．解析：∵a∈(0,1)，∴a＋≥2＝.当且仅当a＝，即a＝时，a＋有最小值，最小值为.答案：授课提示：对应学生用书第4页探究一　利用不等式证明不等式[例1]　已知a，b，c>0，且a＋b＋

4、c＝1.求证：≥8.[证明]　∵a，b，c>0，a＋b＋c＝1，∴－1＝＝≥.同理：－1≥，－1≥.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．　　　　1．若a，b∈R＋，且a＋b＝1，求证：≥9.证明：法一：＝1＋＋＋＝1＋≥1＋＝9.法二：＝＝＝5＋2≥9.探究二　利用不等式求最值[例2]　已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值．[解析]　由y＝4x－

5、2＋＝4x－5＋＋3≤－2＋3＝1.当且仅当4x－5＝时取等号，此时x＝1，∴最大值为1.在应用基本不等式求最值时，分三步：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．已知x>0，y>0，＋＝1，求x＋y的最小值．解析：x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋

6、y)＝1＋16＋＋＝17＋＋≥17＋2＝25.当且仅当＝，即y＝4x时，等号成立．此时，＋＝＝1，∴x＝5，y＝20.∴当x＝5，y＝20时，x＋y取最小值25.探究三　基本不等式的实际应用[例3]　为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k

7、的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解析]　(1)当x＝0时，C(x)＝8，∴k＝40，∴C(x)＝，∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．(2)f(x)＝2(3x＋5)＋－10，设3x＋5＝t，t∈[5,35]，∴y＝2t＋－10≥2－10＝70.当且仅当2t＝，即t＝20时，等号成立．这时x＝5，因此f(x)最小值为70.∴隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．应用不等式解决实际问题的方法应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题

8、来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．围建一个面