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《第1次 复习 微积分 向量代数 平面和直线 预备知识 向量分析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、复习微积分导数公式(是常数),,,,(,),,(,),.,,,,,,,.复合函数的导数公式,.微分公式,.牛顿-莱布尼兹公式若是的一个原函数,则.复习向量代数向量AB自由向量模,单位向量,零向量相等的向量：的逆向量半径向量向量的和三角形法则平行四边形法则运算律(1)交换律:;(2)结合律:;(3);(4).注意向量减法与向量加法的三角形法则的区别向量减法向量加法的三角形法则数乘向量当时,.当时：若,则与同向;若,则与反向;若,则.运算律(1);(2)结合律:;(3)分配律:;(4)分配律:.基向量,,向量的坐标:.若,,则,内积
2、..,.运算律,,.内积的计算若,,则,,.两点和的距离..向量的方向角、和以及的方向余弦、和是与同方向的单位向量.于是,,.的方向余弦为,,,且.矢积是一个向量,它与和都垂直,且、和构成右手系.又.的几何意义:以和为邻边的平行四边形的面积.的面积.,.运算律(1)反交换律:;(2);(3)左分配律:;；(4)右分配律:.注叉乘不满足结合律.外积的计算若,,则.混合积.的符号的几何意义:（）时,、和成右（左）手系.的几何意义:是以、和为棱的平行六面体的体积.四面体的体积.、和共面.混合积的性质(1).(2).(3),,.(4).
3、(5)三矢矢积公式(6)(Lagrange恒等式).混合积的计算若,,,则.复习平面和直线平面1.向量式方程(1):向量形式的点法式,其中为平面的法向量;(2):向量形式的一般式,其中为平面的法向量;(3)(和为平面上的线性无关的向量):向量形式的参数式,其中和为位置向量;(4):向量形式的点位式(和为平面上的线性无关的向量),其中和为位置向量;(5)(、和为平面上的不共线三点的半径向量):向量形式的三点式;(6)(为平面的单位法向量,为原点到平面的距离):向量形式的法线式.2.坐标式方程(1):坐标形式的点法式;(2)、和不全
4、为:坐标形式的一般式.特例:过原点;():平行于轴;():平行于平面(即与轴垂直);:过轴;:平面.(3)(和为参数):坐标形式的参数式;(4):坐标形式的点位式；(5):坐标形式的三点式(是平面上的不共线的三点;(6):坐标形式的法线式;(7):截距式.直线1.直线的向量式方程(1):向量形式的点向式;(2):向量形式的参数式;(3):向量形式的一般式,其方向向量是.2.直线的坐标式方程(1):坐标形式的标准式(对称式);(2):坐标形式的参数式;(3):坐标形式的一般式,其方向向量;(4):坐标形式的射影式.3.直线与直线的
5、位置关系(A)定理直线和(1)异面(2)共面(3)相交(4)平行(5)重合(B)两直线和的夹角即方向向量和之夹角:.球面方程:.球心:,球半径:.空间的圆的方程:预备知识向量分析§1.1向量函数的极限与连续性设在欧氏空间中给定一个点集.若对于的每一点，都有一个确定的向量与之对应，则称在上定义了一个向量函数，记作,.例设.则得一个一元向量函数,；设是平面上的一个区域，.则得一个二元向量函数,；设是空间中的一个区域，.则得一个三元向量函数,.定义设是给定的一元向量函数，是常向量，若对任意给定的，存在，使得当时，,则称当时，向量函数趋
6、于极限.记作或定理1.1.1设和是两个一元向量函数，是一个实变量实值函数，并且当时，，，,则(1)；(2)；(3);(4).定义设给定一元向量函数.若，则称向量函数在点连续.若在开区间内的每一点连续,则称在开区间内连续.又若在右连续,在左连续,则称在闭区间上连续.定理1.1.2若和在点都是连续的向量函数，在点是连续的实函数，则向量函数，，和实函数在点都连续（注：若把定理中的点改为区间，则定理同样成立）.§1.2向量函数的微商与积分设是定义在开区间上的一个向量函数，.若极限存在，则称在点是可微的.这个极限称为在点的微商，用或表示,
7、即.若向量函数在某个开区间的每一点都有微商存在，则称在此区间内是可微的，或简称向量函数是可微的，它的微商记成.定理1.2.1设、和都是可微的向量函数，是可微的实值函数.则，，，，都是可微的，并且，,,,.定义若向量函数的微商仍可微,则此微商称为的二阶微商.同样可定义阶微商.若在内有直到阶的连续微商,则称为在内的次可微函数,或类函数.连续的向量函数称为类函数.无限可微的向量函数称为类函数.设、和是空间直角坐标系的三个基向量,则向量函数可表示为.所以每一个向量函数和三个有序实函数构成的函数组互相唯一决定..向量函数的积分定义和实函数
8、的积分定义相同，即,其中表示区间的分点，是区间内的任意点,.若向量函数是可积的，则.定理1.2.4若向量函数是上的连续函数，则积分存在，并且(1)当时，有;(2)当是常数时，有;(3)当是常向量时，有,；(4).定理1.2.5向量函数具有固定长（即常数）对于的每
