向量代数平面与直线

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1、第一章向量代数平面与直线笛卡儿[法]RenéDescartes(1596.3-1650.2)费马[法]PierredeFermat(1601.8-1665.1)伯努利[瑞士]JohannBernoulli(1667.7-1748.1)欧拉[瑞士]LeonhardEuler(1707.4-1783.9)§1.2§1.3§1.4笛卡儿[法]RenéDescartes(1596.3-1650.2)费马[法]PierredeFermat(1601.8-1665.1)伯努利[瑞士]JohannBernoulli(1667.7-1748.1)欧拉[瑞士]LeonhardEuler(1707.

2、4-1783.9)拉格朗日[法]Joseph-LouisLagrange(1736.1-1813.4)第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算向量的共线共面问题点的共线共面问题向量的运算坐标的运算第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算一.向量的概念及其表示1.什么叫向量？2.怎样表示向量？3.向量有哪些要素？4.什么是自由向量？5.什么是一个向量的负向量？6.什么是零向量？第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算二.向量的加法1.平行四边形法则的物理学背景2.平行四边形法则与三角形法则的等价性3.向量加法有哪些运算性质？①交换律;②结合律;

3、③存在零向量;④每个向量都有反向量.阿贝尔群(Abeliangroup)第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算三.向量与数量的乘法1.定义注:①m=m=0或=.2.运算性质②(1)=.③单位向量;非零向量的单位化.①1=;②m(n)=(mn);③(m+n)=m+n;④m(+)=m+m.向量空间(vectorspace)模(module)例1.设P,Q分别是ABC的BC,AC边的中点,AP与BQ交于点M.证明:ABCMAM=AP.23第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算PQABCST由条件可知:BC=2BP,A

4、C=2AQ.往证点S与点T重合,即AS=AT.PQ设AS=AP,BT=BQ,2323AS=(AB+AC)=AB+AQ=AB+AB+BQ=AB+BT=AT131323132323例2.设M是ABC的重心,O是ABC所在平面上任意一点,证明:ABCMOOM=(OA+OB+OC).133OM=OA+OB+OC(OMOA)+(OMOB)+(OMOC)=AM+BM+CM=(AB+AC)+(BA+BC)+(CA+CB)=131313第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算四.共线、共面向量的判定1.定义

5、定理1.1设向量,则向量与共线存在唯一的实数m使得=m推论1.1向量1,2共线存在不全为零的实数k1,k2使得k11+k22=(即可以由线性表示).(即1,2线性相关).第一章向量代数平面与直线§1.1几何向量及其线性运算四.共线、共面向量的判定定理1.2若向量,不平行,则向量与,共面存在唯一的有序实数组(m,n),使得=m+n推论1.2向量1,2,3共面存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=(即可以由,线性表示).(即1,2,3线性相关).第一章向量代数平面与直线§1.

6、2空间坐标系一.仿射坐标系、直角坐标系1.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.=2,=.12第一章向量代数平面与直线§1.2空间坐标系一.仿射坐标系、直角坐标系1.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示.k1k2=k1+k2第一章向量代数平面与直线§1.2空间坐标系一.仿射坐标系、直角坐标系1.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.(2)在平面上任意一个向量都

7、可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示.定理1.3在空间中取定三个不共面的向量1,2,3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.第一章向量代数平面与直线§1.2空间坐标系321OPQM定理1.3在空间中取定三个不共面的向量1,2,3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.第一章向量代数平面与直线§1.2空间坐标系321O2.仿射坐标系{