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时间:2021-03-04
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1、第二章平面向量一基本概念:1.向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.零向量:长度为的向量.2.单位向量:是模(长度)为1的向量,若其坐标为(x,y),其中x,y满足x2+y2=13.平行向量(即共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行,.4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.5.向量的坐标i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量,若a==xi+yj,则A(x,y)叫做向量a的坐标,记作a==(x,y).二、向量运算:向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起
2、点.⑶三角形不等式:.⑷运算性质:①交换律:;②结合律:;③.⑸坐标运算:设,,则.向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设,,则.设、两点的坐标分别为,,则.注意:正反思维:向量数乘运算:⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.①;②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.⑵运算律:①;②;③.⑶坐标运算:设,则.平面向量的数量积:1.向量的夹角:向量a和b,作=a,=b,则ÐAOB=q(0°£q£180°)叫做向量a和b3的夹角.2.数量积:⑴.零
3、向量与任一向量的数量积为.坐标运算:设两个非零向量,,则.即3性质:设和都是非零向量,则①当与同向时即θ=0°,;当与反向时即θ=180°,;⑶或.③.4运算律:①;②;③.5.特别注意:①向量的投影:向量b在a方向上的投影是:
4、b
5、cosq②当q为锐角时,且与不同向;当q为钝角时,且与不反向;当q=90°时,③数量积不适合乘法结合律如(a×b)×c¹a×(b×c)(∵(a×b)×c与c共线,而a×(b×c)与a共线).④.数量积的消去律不成立若a、b、c是非零向量且a×c=b×c,并不能得到a=b.三、平面向量基本定理:如果
6、、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.1.不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底2、分点坐标求法:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,求点P的坐标的方法:设P的坐标为则∴当四、向量的应用:(一)求长度 ①若,则,或②两点间的距离:若,,,(二)证垂直:向量垂直的条件:(三)向量平行(共线)的充要条件: ①向量与共线即,存在唯一实数,使②三点A、B、C共线共线(四).求向量夹角:是与的夹角,设、都是非零向量,,,3则.注意:的范围:3
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