平面向量知识要点复习

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1、高中数学总复习（五）平面向量知识要点1.长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.注意：①若为单位向量，则.（）单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向.②若，则∥.（√）2.①=②③④设（向量的模，针对向量坐标求模）⑤平面向量的数量积：⑥注意：①不一定成立；.②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.③长度为0的向量叫零向量，记，与任意向量平行，的方向是任意的，零向量与零向量相等，且.④若有一个三角形ABC，则0；此结论可推广到边形.⑤若（），则有.（）当等于时，，而不一定相等.⑥·=，=（针对向

2、量非坐标求模），≤.⑦当时，由不能推出，这是因为任一与垂直的非零向量，都有·=0.⑧若∥，∥，则∥（×）当等于时，不成立.3.①向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得（平行向量或共线向量）.当与共线同向：当与共线反向；当则为与任何向量共线.注意：若共线，则（×）若是的投影，夹角为，则，（√）②设=，∥⊥—12—③设，则A、B、C三点共线∥=（）（）=（）（）（）·（）=（）·（）④两个向量、的夹角公式：⑤推广1：当时，得线段的中点公式：推广2：三角形重心坐标公式：△ABC的顶点，重心坐标：注意：在△ABC中，若

3、0为重心，则，这是充要条件.4.⑴正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则.⑵余弦定理：⑶正切定理：⑷三角形面积计算公式：设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=[海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb[注]：到三角形三

4、边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：—12—图1图2图3图4图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.⑹在△ABC中，有下列等式成立.⑺△ABC的判定：△ABC为直角

5、△∠A+∠B=＜△ABC为钝角△∠A+∠B＜＞△ABC为锐角△∠A+∠B＞附：证明：，得在钝角△ABC中，⑻平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.—12—例题讲解：1．[2012·辽宁卷]已知两个非零向量a，b满足

6、a＋b

7、＝

8、a－b

9、，则下面结论正确的是(　　)A．a∥bB．a⊥bC．

10、a

11、＝

12、b

13、D．a＋b＝a－b2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是(　　)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c

14、3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．164．[2012·沈阳模拟]如图K27－1，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

15、

16、＝1，则·＝(　　)图K27－1A．2B.C.D.5．[2013·郑州模拟]如图K27－2，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝(　　)图K27－2A．8B．10C．11D．126．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0(其中O为坐标原点)，又

17、

18、＝

19、

20、，则向量在向量方向上的投影为(　　)A．1B

21、．－1C.D．－7．[2012·吉林模拟]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为(　　)A.B.C.D.8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)—12—A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1，2)D．(2，2)9．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．10．[2012·郑州检测]若平面向量α，β满足

22、α

23、＝1，

24、β

25、

26、≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．例题参考答案：1．B　[解析]本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．因为

27、a＋b

28、＝

29、a－b

30、⇒(a＋b)2＝(a－b)2⇒a·b＝0，所以