平面向量要点归纳

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1、平面向量要点归纳由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，因此，在中学数学教材中的的地位也越来越重要，也成为近几年全国高考命题的重点和热点，以下是对平面向量中有关知识要点的归纳整理，供同学们参考．一、基本概念与运算1．要注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，这两者缺一不可．由于方向不能比较大小，因而“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零

2、向量之间的关系．2．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．3．向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是

3、同一个向量．向量的减法按三角形法则，把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，一定要注意向量的方向．4．两个向量长度的和（差）不一定等于这两个向量和（差）的长度，因为向量的加（减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加（减）法．（1）当两个非零向量与不共线时，的方向不同于的方向，且；（2）当向量方向相同时，的方向与（或）的方向相同，且；（3）当向量方向相反且时，的方向与的方向相同，且．5．对于向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：（1）数与向量的积仍是一个向量，向

4、量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由确定．（2）要特别注意，而不是．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如都无法进行．（4）向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：和，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．（5）判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．二、基本定理及其坐标表示1．平面向量基

5、本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量和，平面内的任何一向量都可以用向量表示为，并且这种表示是惟一的，即若，则必有，．这样，平面向量本定理不仅把几何问题转化为只含有的代数运算，而且为利用待定系数法解题，提供了理论基础.2．在利用平面向量基本定量时，一定要注意不共线这个条件.3．平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理.直角坐标系中与、轴方向相同的单位向量是一组正交基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使

6、得．于是，平面内的任一向量都可由，惟一确定，而有序数对正好是向量的坐标，这样使得平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示.在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合.很多几何问题，如共线、共点等较难问题的证明，就都可以转化为代数运算的论证，同时也为解决一些物理问题提供了一种简便有效的方法.4．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标，如：若平面上有点，则．一定要把向量的坐标与点的坐

7、标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等.两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，即向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.5．要注意区别两向量平行和垂直的坐标表示（1）若，，则向量与共线的条件为．（2）若非零向量，，则向量与垂直的条件为．（3）要注意与共线的条件适合任何向量，而垂直的条件只是适合两非零向量，另外，（1）（2）两命题都是可逆的．三、平面向量的数量积1．平面向量与的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的模与两个向量夹角

8、余弦的乘积，其中的取值范围是．2．平面向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积是不同的，在学习平面向量的数量的积时，要注意以下几点：（1）由，且不能推出，因为对任何一个与垂直的非零向量，都有．（2）由不能推出，例如，当且时，，但不能推出．（3）平面向量的数量积不满足结合律，即与不一定相等，因为前者表示与共线的向量，后者表示与共线的向量，而与不一定共线．（4）