高考数学总复习经典测试题解析版5.3 平面向量的数量积.doc

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1、5.3平面向量的数量积一、选择题1.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=(  )A.4    B.3C.2D.0解析:由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.答案:D2.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为(  )A.0B.C.D.解析∵a·c=a·=a·a-a·b=a2-a2=0,又a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉=,故选D.答案 D3.设向量=(1.)与=(-1,2)垂直,则等于()ABC.0D.-1解析正确的是C.答案C4.已知

2、a

3、=6

4、,

5、b

6、=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(  ).A.-4B.4C.-2D.2解析 设a与b的夹角为θ,∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积,而cosθ==-,∴

7、a

8、cosθ=6×=-4.答案 A5.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则

9、a+b-c

10、的最大值为(  ).A.-1B.1C.D.2解析 由已知条件,向量a,b,c都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1,由a·b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c2=1,因为

11、

12、a+b-c

13、2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c,所以有

14、a+b-c

15、2=3-2(a·c+b·c)≤1,故

16、a+b-c

17、≤1.答案 B6.已知非零向量a、b满足

18、a

19、=

20、b

21、,若函数f(x)=x3+

22、a

23、x2+2a·bx+1在x∈R上有极值,则〈a,b〉的取值范围是(  )A.B.C.D.解析 ∵f(x)=x3+

24、a

25、x2+2a·bx+1在x∈R上有极值,∴f′(x)=0有两不相等的实根,∵f′(x)=x2+2

26、a

27、x+2a·b,∴x2+2

28、a

29、x+2a·b=0有两个不相等的实根,∴Δ=4

30、a

31、2-8a·b>0,

32、即a·b<

33、a

34、2,∵cos〈a,b〉=,

35、a

36、=

37、b

38、,∴cos〈a,b〉<=,∵0≤〈a,b〉≤π,∴<〈a,b〉≤π.答案 D7.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(  ).A.·B.·C.·D.·解析 由于⊥,故其数量积是0,可排除C;与的夹角是,故其数量积小于零,可排除D;设正六边形的边长是a,则·=

39、

40、

41、

42、cos30°=a2,·=

43、

44、

45、

46、cos60°=a2.答案 A二、填空题8.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则

47、a-3b

48、等于________.解析∵

49、a-3b

50、

51、2=a2-6a·b+9b2=10-6×cos60°=7,∴

52、a-3b

53、=.答案9.已知向量,,若,则的值为.解析答案10.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.解析 设a与b夹角为θ,由题意知

54、a

55、=1,

56、b

57、=1,θ≠0且θ≠π.由a+b与向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0,即k

58、a

59、2+(k-1)

60、a

61、

62、b

63、cosθ-

64、b

65、2=0,(k-1)(1+cosθ)=0.又1+cosθ≠0,∴k-1=0,k=1.答案 111.已知e1,e2是夹角为的两个单位

66、向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,则实数k的值为________.解析 由题意知:a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=0,即ke+e1e2-2ke1e2-2e=0,即k+cos-2kcos-2=0,化简可求得k=.答案 12.在等腰直角三角形ABC中,D是斜边BC的中点,如果AB的长为2,则(+)·的值为________.解析:

67、

68、2=

69、

70、2+

71、

72、2=8,

73、

74、=

75、

76、,+=2,(+)·=2·=

77、

78、2=4.答案:4三、解答题13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c

79、)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.解析:(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c)a=0a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为

80、a

81、cosθ.∴

82、a

83、cosθ===-=-.14.如图所示,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3).(1)若∥

84、,求x与y之间的关系式;(2)在(1)条件下,若⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.解析 (1)∵=++=(x+4,y-2),=-=(-x-4,2-y).又∥且=(x,y),∴x(2-y)-y(-x-4)=0,即x+2y=0.①(2)由于=+=(x+6,y+

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