2021届高考数学(文)客观题重难点专题突破01 平面向量与复数（考点精讲）（解析版）.docx

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1、专题01平面向量与复数-考点精讲平面向量——重点突破2个常考点考法(一)　平面向量数量积的运算及应用(1)若a＝(x，y)，则

2、a

3、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

4、

5、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.1．已知

6、a

7、＝

8、b

9、，且

10、a＋b

11、＝

12、a－b

13、，则向量a与b的夹角为(　　)A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．120°【解析】选C　设a与b的夹角为θ，由已知可得，即4a·b＝a2＋b2.因为

14、a

15、＝

16、b

17、，所以a·b＝a2，所以cosθ＝＝，θ＝60°.2.如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为

18、斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　)A．1B.C.D．－【解析】选B　法一：因为△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，所以＝＋，所以＝＝(＋)，则＝－＝－，所以·＝(－3)·(＋)＝(2－32)＝.法二：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A(0,1)，B(2,0)，C，P，所以＝，＝，故·＝×－×＝.3．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，

19、b

20、＝2，则

21、3a＋b

22、＝(　　)A．13＋6B．2C.D.【解析】选D　依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos45°＝2，所以

23、3a＋b

24、＝＝＝＝.考法(二

25、)　平面向量数量积的范围问题平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．题型1　平面向量模的最值或范围问题[典例]　(1)已知向量a，b，c满足

26、a

27、＝

28、b

29、＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝0，则

30、b－c

31、的最小值为(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　由

32、a

33、＝

34、b

35、＝a·b＝2，知a，b的夹角为，可设a＝(2,0)，b＝(1，)，c＝(x，y)，∵(a－c)·(b－2c)＝0，∴(2－x，－y)·(1－2x，－2y)＝0，即2x2＋2y2－5x－y＋2＝0.方程2x2＋2y2－5x－y＋2＝0表示圆心为，半径为的圆，

36、b－c

37、＝表

38、示圆2x2＋2y2－5x－y＋2＝0上的点到点(1，)的距离，所以

39、b－c

40、的最小值为－＝.(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2B．－C．－D．－1[答案]　B[解析]　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x,－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.[解题方略]求向量模的最值(范围)的2种

41、方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．[针对训练]1．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，

42、c

43、＝，则对任意的正实数t，的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．4【解析】选B　＝c2＋t2a2＋b2＋2ta·c＋c·b＋2a·b＝2＋t2＋＋2t＋≥2＋2＋2＝8(t＞0)，当且仅当t2＝，2t＝，即t＝1时等号成立，∴的最小值为2.2．已知平面向量a，b满足

44、b

45、＝1，且a与b－a的夹角为120°，则

46、a

47、的取值范围为________．【解析】在△ABC

48、中，设＝a，＝b，则b－a＝－＝，∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，由正弦定理得＝，∴

49、a

50、＝＝sinC，∵0°＜C＜120°，∴sinC∈(0,1]，∴

51、a

52、∈.答案：题型2　数量积的最值或范围问题[典例]　(1)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则·的取值范围是(　　)A.B.C．[－1,1]D．[－1,0][解析]　∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，则＝＋，·＝0，∴·＝(＋)·＝·.∴当点P与点B重合时，·取得最大值，即·＝·＝××＝1；当点P与点D重合时，

53、·取得最小值，即·＝－××＝－1.∴·的取值范围是[－1,1]．[答案]　C(2)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足

54、

55、＝，则·的取值范围为(　　)A.B.C.D.[解析]　以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.设M(a,2－a