2021届高考数学(文)客观题重难点专题突破09 导数的简单应用（考点精讲）（解析版）.docx

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1、专题09导数的简单应用-考点精讲重点突破——利用导数研究函数单调性考法(一)　利用单调性比较大小1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝3f(3)，b＝－2f(－2)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞c　　　　　　　　B．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b【解析】选A　令函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0，∴F(x)＝xf(x)在(－∞，0)上

2、单调递减，∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴F(x)为偶函数．∴F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵a＝3f(3)，b＝－2f(－2)，c＝f(1)，∴a＝F(－3)，b＝F(－2)，c＝F(1)＝F(－1)，∴F(－3)＞F(－2)＞F(－1)，即a＞b＞c.2．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈时，(x－1)f′(x)＜0.设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a【解析】选C　因为当x∈

3、(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)＜f＝b，又f(x)＝f(2－x)，所以c＝f(3)＝f(－1)，所以c＝f(－1)＜f(0)＝a，所以c＜a＜b，故选C.[解题方略]利用单调性比较大小的关键(1)构造函数，利用已知条件构造新的函数；(2)寻找性质，对所构造的函数判断其单调性与奇偶性；(3)比较，细审比较的各式，还原到新构造的函数中，再利用函数的单调性，即可得大小关系．　考法(二)　已知函数单调性求参数的取值范围[典例]　已

4、知函数f(x)＝ex＋mlnx(m∈R，e为自然对数的底数)，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)－f(x2)＞x1－x2成立，则实数m的取值范围是________．[解析]　依题意得，对于任意的正数x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)－x1＞f(x2)－x2，因此函数g(x)＝f(x)－x在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x＞0时，g′(x)＝f′(x)－1＝ex＋－1≥0，即x(ex－1)≥－m恒成立．设h(x)＝x(ex－1)，x＞0，则有h′(x)＝(x＋1)ex－1＞(0＋1)e0

5、－1＝0(x＞0)，故h(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，h(x)的值域是(0，＋∞)，因此－m≤0，m≥0.故所求实数m的取值范围是[0，＋∞)．[答案]　[0，＋∞)[解题方略]由函数的单调性求参数的取值范围3个策略(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f′(x)max＞

6、0(或f′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知函数f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[提醒]　已知函数f(x)的单调性求参数的取值范围，切记验证f′(x)是否恒等于0.　[针对训练]1．已知f(x)＝x2＋ax＋3lnx在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－2]B.C．[－2，＋∞)D．[－5，＋∞)【解析】选C　由题意得f′(x)＝2x＋a＋＝≥

7、0在(1，＋∞)上恒成立，∴g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴Δ＝a2－24≤0或∴－2≤a≤2或即a≥－2.2．已知函数f(x)＝x2－lnx＋在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内不是单调函数，则实数a的取值范围是________．【解析】法一：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵函数f(x)＝x2－lnx＋在区间(a－1，a＋1)上不单调，∴f′(x)＝2x－＝在区间(a－1，a＋1)上有零点．由f′(x)＝0，得x＝，则解得1≤a＜.法二：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞

8、)，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＞0得x＞，令f′(x)＜0得0＜x＜，即函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.若函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内是单调函数，则a－1≥或即a≥，所以函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内不是单调函数，需满足1≤a＜.答案：难点精研——利用导数研究函数的极值