第二章 方程(组)与不等式(组).doc

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1、第二章方程（组）与不等式（组）【考点透视】方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，近年来，有关方程（组）与不等式（组）的开放性试题在全国各地中考中时有出现，有已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组）的开放性试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确．【典型例题】例1．请写出一个两实根之和为1的一元二次方程．（2002年陕西省咸宁市中考试题）分析：首先写出的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0要有解，即Δ＝0；其次，根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根与系数的关系，两根之和等

2、于，则a与b互为相反数（其中a与b都不为零），所以只要赋予a、b一对值，例如a＝1，b＝－1，就得到一个一元二次方程x2－x－1＝0．解：答案不唯一，例如方程可为x2－x－1＝0，或2x2－2x－3＝0，或x2－x＝0等等．说明：本题的开放度较大，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数a、b、c都开放，编制方程时，要注意Δ≥0这一隐含条件．例2．写出一个以为解的二元一次方程组．2002年浙江省绍兴市中考试题）分析：对于任意一个二元一次方程ax＋by＝c，如果它的解是那么可得7b＝c，这里，赋予一个b值，就得到一个c值，再任意取一个a值，就可以构造出以为解的二元一次方程组．解

3、：如果二元一次方程ax＋by＝c的解是那么可得7b＝c．（1）令a＝2，b＝1，则c＝7；再令a＝1，b＝－1，则c＝－7．相应的二元一次方程组是（2）令a＝1，b＝2，则c＝14；再令a＝1，b＝－2，则c＝－14．相应的二元一次方程组是说明：本题答案不唯一．编制方程组时应避免两个方程是同解方程，例如方程组有无数组解，而题目要求以为解．例3．写出满足方程x＋2y＝9的一对整数值．（2003年黑龙江省中考试题）分析：本题是求二元一次方程x＋2y＝9的一个整数解，可先将方程变形为x＝9－2y，y任取一个整数，相应就可以得到二元一次方程x＋2y＝9的一个整数解，．解：答案不唯一

4、，例如等等．例4．王老师在课堂上给出了一个二元方程x＋y＝xy，让同学们找出它的解．甲写出的解是乙写出的解是你找出的与甲乙不相同的一组解是．（2002年陕西省中考试题）分析：本题求二元二次方程x＋y＝xy的一个解，可先赋予x一个值（x≠0，且x≠2），代入原方程求出的值．解：当x＝3时，＝，所以方程x＋y＝xy的解可以是同例，可得方程x＋y＝xy的解还可以是或等等．说明：x不能取1，因为当x＝1时，出现一个矛盾等式1＝0，所以x≠1．例5．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m、n的实数值可以是m＝，n＝．（2003年河南省中考试题）

5、．分析：关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即m2－4n＝0，任意赋予m一个值，利用m2－4n＝0就可以求出相应的n值．解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0．即m2－4n＝0．任取一个m的值，例如（1）取m＝2时，可得n＝1；（2）取m＝4时，可得n＝4；（3）取m＝时，可得n＝．∴符合条件的一组m、n的实数值可以是m＝2，n＝1或m＝4，n＝4或m＝，n＝等等．说明：本题也可以先取一个n的值，代入m2－4n＝0，求出m的值，但要注意n应为非负数．例6．对关于的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．（1）当a、c异号时

6、，试证明该方程必有两个不相等的实数根；（2）当a、c同号时，该方程要有实数根，还需满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程，然后解这个方程．（2002年海南省中考试题）分析：（1）要证明该方程必有两个不相等的实数根，只需证明Δ＞0；（2）方程要有实数根，需满足Δ≥0，只需找出一个a、c同号，且满足Δ≥0的一元二次方程即可．解：（1）∵a、c异号，∴ac＜0．又∵b2≥0，∴Δ＝b2－4ac＞0．即该方程必有两个不相等的实数根．（2）当a、c同号时，如果b2≥4ac，那么该方程有实数根；①当a＝1，c＝2，b＝3时，、c同号，且b2≥4ac，此时的一元二次

7、方程是x2＋3x＋2＝0．下面解这个一元二次方程：（x＋1）（x＋2）＝0．x＝－1或x＝－2．所以方程x2＋3x＋2＝0的两个实数根为：x1＝－1，x2＝－2．②当a＝1，c＝1，b＝－4时，、c同号，且b2≥4ac，此时的一元二次方程是x2－4x＋1＝0．下面解这个一元二次方程：x＝＝2所以方程x2－4x＋1＝0的两个实数根为：x1＝2＋，x2＝2－．说明：本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根据已知条件编制一元二次方程根的能力，所编的方程因人而异．例7．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组