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1、函数问题中隐性恒成立的“藏身”之地林凤岭江苏省连云港市新海高级中学222006函数隐性恒成立是指在题目中没有明显出现“恒成立”“均成立”“任意”“都成立”字样,若明若暗,隐而不显,含而不露的恒成立条件,它具有一定的隐藏性与深刻性,极易被解题者忽视,高一高二的同学在学习时大多数没有引起足够的重视,到了高三时往往是一点即破.自已感到很纳闷.为什么总是想不到.实际上只要在平时的学习中多理解一点，多悟一点在解答问题时,若能够深入地挖掘这些隐性恒成立的条件,将问题转化成恒成立问题,则可达到事半功倍的效果.“藏身”之一:函数定义域D.对,函数有意义,它实际上含有恒成立
2、的情况.如在求定义域中隐含着偶次方根的被开方数大于等于零,对数的真数都要大于零等.例1:要使函数在x∈(－∞，1]上有意义，求a的取值范围．解 由题意得在x∈(－∞，1]上恒成立，即在x∈(－∞，1]上恒成立．又令,则,则f(t)在上为减函数，,即.∵，在[，＋∞)上恒成立，.“藏身”之二:函数的值域.函数定义域D.值域M.即对任意,存在使例2:函数的值域为R求的取值范围解:对任意,存在使,有解,由于,的开口向上,所以故有即或“藏身”之三:函数的奇偶性.函数的奇偶性定义,在定义域中若有,则为奇(偶)函数.在逆用函数的奇偶性时,对我们解题大有用武之地的.例3
3、:已知定义域为的函数是奇函数,求之值解:根据条件有:,即由于上式恒成立,故有定义域为故有解,即“藏身”之四:函数的单调性.对,若则(或),则为单调增(减)函数.它与不等式密不可分,它的核心也是隐含不等式的恒成立.例4:已知函数常数．若函数在上为增函数，求的取值范围．(07上海高考题改编)解法一：设，，要使函数在上为增函数，必须恒成立．，即恒成立．又，．的取值范围是．解法二：,在恒成立.点评:.当已知函数单调性时，我们可以从定义,函数导数，将函数在指定区间上的单调性，转化为不等式恒成立的问题。从而可以通过分离参数求最值的方法来得到参数的取值范围。上述两解法,
4、是解决此类问题的通法“藏身”之五:函数的最值.对则有(或),则为的最小(大)值.这是典型的恒成立问题.例:已知函数若对于任意实数,均存在以三边长的三角形,则实数的取值范围是解:当仅当时成立.当时根据条件对任意,均存在以三边长的三角形,则必有即,即当时当显然成立点评：最值是一种特殊的恒成立，即函数值恒比一个常数大或恒比一个常数小。有时利用这样的思想来解决问题有会收到意想不到的效果。“藏身”之六:函数周期性对有,为的周期.例:是否存在使函数是一个最小正周期为的周期函数,若存在,求出实数的值,若不存在请说明理由.解:设存在实数,根据条件有:即,恒成立.从而不存在
5、这样实数“藏身”之六:函数的对称性..函数定义域D,若则关于对称.若则关于对称.上式两式都是恒成立的.例:(2010上海春考)函数的图象关于点P对称,则点P坐标为()ABCD(0,0)解:设由对任意恒成立,代入得整理得故从而所以选C点评:此问题是春考中的第18题,实际上仍然是一类恒成立问题,本解法给出了求对称中心的一般解法.总之,从本质上去理解函数性质,就能寻出隐性恒成立的藏身之处,挖掘并利用其中的隐含条件进行推理和运算,进一步转化成关于自变量的等式恒成立,不等式在定区间上的恒成立,求交点,求最值问题.从某种意义上说,解数学题是一个从题目所列项目中不断地挖
6、掘并利用其中的隐含条件进行推理和运算的过程,一道题,如果由题目中明显给定的条件解决不了,而适用的隐含条件一时又难以找到,这就构成了所谓“难题”。问题的难度一般都与获得适合问题解决的隐含信息的艰难程度成正比.
