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《(巩继强)求数列中的项.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、求数列中项的几种常见模型模型一：数列是以d为公差的等差数列，且，则例1已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1
2、＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10..例2在xoy平面上有一系列点，…，，…，（n∈N*），点Pn在函数的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切.若.（I）求数列的通项公式；（II）设圆Pn的面积为解：（I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，两边平方并化简得由题意得，圆Pn的半径为首项，以2为公差的等差数列，所以（II），所以，模型二：分
3、母有理化，如：例3已知，的反函数为，点在曲线上，且(I)证明数列{}为等差数列；(Ⅱ)设,记，求解(I)∵点An()在曲线y=g(x)上(n∈N+)，∴点()在曲线y=f(x)上(n∈N+),并且an>0，，∴数列{}为等差数列(Ⅱ)∵数列{}为等差数列，并且首项为=1，公差为4，∴=1+4（n—1），∴，∵an>0，∴，bn＝=,∴Sn＝b1＋b2+…＋bn==例4设，则不超过的最大整数为 。(2008年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)解： ,,,,不超过的最大整数为。模型三：=－例5设数列的前项的和，n=1,2,3,….（Ⅰ）求首
4、项与通项；（Ⅱ）设，n=1,2,3,…，证明：（2006年全国数学高考理科试题）.解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2.再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(
5、Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<模型四：，且，则例6设函数的图象在处的切线平行于直线.记的导函数为.数列满足：,.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)试判断数列的增减性,并给出证明;(Ⅲ)当时,证明:.解：（Ⅰ）∵函数的导函数为，由于在处的切线平行于，∴，∴(Ⅱ)∵,∴,∵,故,所以,所以是单调递增.(Ⅲ)∵,∴=,∴∴,,…令当时,∴例7已知数列满足，满足，证明：。(2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)
6、证明：记，则。而。因为，所以。从而有。（1）又因为，所以，即。从而有。（2）由（1）和（2）即得。综合得到。左边不等式的等号成立当且仅当n=1时成立。以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力。
