【精品】四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第6讲 数学方法与思想（三） 精英篇（解析版）全国通用.doc

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1、第六讲数学的方法和思想（三）等量代换法小朋友们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。　　为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。　　“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。【例1】用两台水泵抽水

2、，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？分析：小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，那么，大水泵8小时的抽水量等于小水泵20小时的抽水量，也就是说：小水泵6小时，再加上20小时的抽水量，共抽了312立方米，能求出小水泵的抽水量：312÷（6+20）=12立方米，大水泵每小时抽水：12×5÷2=30立方米。【例2】1元钱1瓶汽水，喝完后两个空瓶换1瓶汽水。问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？分析：刚开始20元==20瓶       20瓶 20个瓶子==10瓶 

3、        30瓶 10个瓶子==5瓶           35瓶 4个瓶子==2瓶             37瓶 多一个空瓶  2个瓶子==1瓶             38瓶 多一个空瓶 2个瓶子（上1瓶+剩下的空瓶）==1瓶    39瓶 重点 ：最后剩下一个空瓶 ， 用这个瓶子换一瓶汽水 喝完后把瓶子还给老板 ， 刚好喝到40瓶汽水。【例3】（第七届《小数报》数学竞赛决赛）大盒放有若干支同样的钢笔，小盒放有若干同样的圆珠笔，两盒笔的总价相等．如果从大盒取出8支钢笔放入小盒，从小盒取出10支圆珠笔放人大盒，必须在大盒中再添两支同样的钢笔，两盒笔的总价才

4、相等．如果从大盒取出10支钢笔放人小盒，从小盒取出8支圆珠笔放人大盒，那么大盒内笔的总价比小盒少44元．每支钢笔多少元?分析：法1：原来两盒总价相等，交换之后，又添了2支钢笔，这时总价又相等，这就相当于把添的2支钢笔平分给了大、小两盒，每只盒的总价都比原来多了1支钢笔的钱．对于小盒来说，拿10支圆珠笔的价钱等于7支钢笔的钱．即7（8-1）支钢笔=10支圆珠笔……………………………………(1)从大盒中取10支钢笔放进小盒，再从小盒内取8支圆珠笔放进大盒．小盒内增加的钱是：10支钢笔一8支圆珠笔大盒内减少的也是这个钱，大、小盒总价相同，这么一交换，一个增加这么多，一个

5、减少这么多，相差的就是它的2倍，也就是44元．所以10支钢笔一8支圆珠笔=22………………………………………(2)(2)×5也就是，50支钢笔一40支圆珠笔=110；（1）×4也就是：28支钢笔=40支圆珠笔，所以每支钢笔的价钱是：110÷（50-28）=5（元）。法2：也可设原来总价为a，条件摘录分析得：a-8钢笔+10圆珠笔+2钢笔=a-10圆珠笔+8钢笔；（a-8圆珠笔+10钢笔）-（a-10钢笔+8圆珠笔）=44；进而求得答案。【例1】如右图，AB长20厘米，D、E分别是AC、BC的中点，那么AD+BE是多少厘米？分析：法1：因为D、E分别是AC、BC的中

6、点，所以AD=1/2AC，BE=1/2BC，进而可得：AD+BE=1/2AC+1/2BC=1/2（AC+BC）=1/2AB=10厘米。法2：从特殊状态考虑，若C是AB中点，那么易得答案。【例2】如右图：阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。分析：因为中间是正方形，正方形的四边相等，所以DE=FE=FG=DG，长方形CGFB的周长为7×2=14（厘米），长方形AHED的周长为5×2=10（厘米），所以最大的长方形ABCH的周长等于：AE+EF+FB+BC+CG+GD+DH+AH=7×2+5×2=24（厘米）。枚举法在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因

7、其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。其特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。【例3】明明带8元钱去商店买冰激凌。有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支。如果这8元钱全部用于买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法?分析：有顺序

8、地思考买法