【精品】四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第讲 数阵图 提高篇（解析版）全国通用.doc

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1、第三讲数阵图内容概述在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。　　那么，到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等

2、于15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例题精讲【例1】把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。分析：同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重

3、叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了。【例2】将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。　分析：因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。由此得出重叠数为：[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。

4、剩下的六个数中，两两之和等于9，【例3】把1～5这五个数填入右图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。分析：法1：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。法2:只需将1、2、3、4填如空格，我们可以利用对称的思想。【例4】将10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之

5、和都相等。分析：中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于　　[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=30)的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右下图的填法。【例5】把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。分析：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例3是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和。本例是这两样什么都不知道，但由例1、例3的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每

6、条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和＝(15+重叠数)÷2。　因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5。若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。填法见下图（1）；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。填法见下图（2）；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。填法见下图（3）。由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。【例6】把1～6这六个数填入右图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。分析：为

7、方便分析，我们不妨将两个重叠数记为a、b，那么有（1+2+3+4+5+6）+a+b=2倍的和，即21+a+b=2倍和，所以a+b必须为奇数，那么它们可能是：1+2、1+4、1+6、3+2、3+4、3+6、5+2、5+4、5+6，经检验可得如下答案：（1）每个圆周的四数之和=12（2）每个圆周的四数之和=13（3）每个圆周的四数之和=14（4）每个圆周的四数之和=15　（5）每个圆周的四数之和=16【例7】将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。分析：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个

8、重叠数之和为21×2-(1+2+…+8)=6。在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，