高考函数含多个变量的问题.doc

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1、法一：分离变量法二：最值放缩法三：构造整体（如齐次式等）1．设函数．（1）若，求函数的极值；（2）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间；（3）在（2）的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围．答案：解．（1）∵当时，则………1分令得，∵∴，解得……2分∵当时，，当时，当时∴当时，函数有极大值，，当时，函数有极小值，．…………4分（2）由（1）知∵是函数的一个极值点∴即，解得则＝令，得或∵是极值点，∴，即…………6分当即时，由得或由得当即时，由得或由得…………8分综上可知：当

2、时，单调递增区间为和，递减区间为当时，单调递增区间为和，递减区间为……9分（3）由2）知：当a>0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，∴函数在区间上的最小值为又∵，，∴函数在区间[0，4]上的值域是，即]又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是…………11分∵－＝＝，∴存在使得成立只须仅须－<1．2．已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0

3、,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.于是≤＝≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即　f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，.　　3．（2010辽

4、宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].……12分4．（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f

5、(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数则由于1

6、线对称，证明当时，（Ⅲ）如果，且，证明【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）解：f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，

7、2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.6．（2010湖南理数）20.（本小题满分13分）已知函数对任意的，恒有。（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。解析：14．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若不

8、等式对于一切正数、恒成立，则实数的最小值为2．变：设，且，的最大值________.7．设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，，，且，若

9、

10、<

11、

12、，求的取值范围。[解析]本小题主要考查函数的概念