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1、第27卷第2期西安科技大学学报Vol.27No122007年6月JOURNALOFXI’ANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYJune12007文章编号:1672-9315(2007)02-0316-043随机变量函数的分布问题12杨秀妮,王雪芹(11西安科技大学基础课部,陕西西安710054;21渭南师范学院数学系,陕西渭南714000)摘要:研究n个随机变量函数的分布问题。(ξ1,ξ2,⋯,ξn)是n维连续型随机变量,n元函数y=f(x1,x2,⋯,xn)有连续的一阶偏导数,对n个随机变量ξ1,ξ2,⋯,ξn的函数η=f(ξ1,ξ2,⋯,ξn),给出了η的密
2、度函数φη(y)的分析式。从根本上解决了随机变量函数的分布问题。关键词:随机变量;随机变量的函数;密度函数中图分类号:O211.5文献标识码:AFunctionaldistributionproblemofrandomvariable12YANGXiu2ni,WANGXue2qin(1.Dept.ofBasicCourses,Xi’anUniversityofScienceandTechnology,Xi’an710054,China;2.Dept1ofMaths,WeinanTeacher’sCollege,Weinan714000,China)Abstract:Thepaperhasre
3、searchedthefunctionaldistributionproblemofnrandomvariable.(ξ1,ξ2,⋯,ξn)isthecontinuousrandomvariableofndimensions.Thefunctionofnmembersy=f(x1,x2,⋯,xn)hascontinuouspartialdifferentialcoefficientofanorder,relatedtothefunctionη=f(ξ1,ξ2,⋯,ξn)withnrandomvariableξ1,ξ2,⋯,ξn.Thepaperhaspresentedtheanalytica
4、lexpressionsofthedensityfunctionφη(y)ofη—multipleintegral.Thus,thefunctionaldistributionproblemoftherandomvariablehasbeensolvedradically.Keywords:randomvariable;functionofrandomvariable;densityfunction对于随机变量函数的分布,通常应用所谓的“分布函数法”。关于一个随机变量的函数,η=f(ξ)在函数y=f(x)单调、可微条件下,给出了求η密度函数的公式;对二维随机变量的函数η=f(ξ1,ξ2),通
5、常仅ξ1对和η=ξ1+ξ2与商η=等这些特殊的随机变量的函数给出了密度函数的分析式。文献[1]和[2]对ξ2η=f(ξ),η=f(ξ1,ξ2)分别提出“曲线分布密度”“曲面分布密度”的概念,解决了一个和两个随机变量的函数的分布问题。文中研究n个随机变量的函数的分布,给出了相应的密度函数公式。[3-6]1n维随机变量函数的分布为叙述方便,引入以下记号ΔyDy={(x1,x2,⋯,xn)
6、y≤f(x1,x2,⋯,x)7、y=y,y=f[(x1,x2,⋯,xj-1,gi,n(x1,x2,⋯,xn-1,y),xj+1,⋯,xn]},
8、hi,n=sgn(gi,n(x1,x2,⋯,xn-1,y+Δy)-gi,n(x1,x2,⋯,xn-1,y))3收稿日期:2006-04-16作者简介:杨秀妮(1963-),女,陕西蒲城人,副教授,主要从事数学应用和教学研究.第2期杨秀妮等:随机变量函数的分布问题317[7,8]定理设n维连续型随机变量(ξ1,ξ2,⋯,ξn)的联合密度为φ(x1,x2,⋯,xn),n元函数y=f(x1,x2,⋯,xn)有连续的一阶偏导数,且其关于xn的kn支反函数gi,n=gi,n(x1,x2,⋯,xn-1,y)(i=1,2,⋯,kn)有连续的一阶偏导数,则随机变量η=f(ξ1,ξ2,⋯,ξn)的密度函数为k
9、nφ5gi,nn(y)-6∫φ[x1,x2,⋯,xn-1,gi,n(x1,⋯,xn-1,y)]dx1dx2⋯dxn-1(1)i=15yDi,n证明对任意实数y,Δy>0,有P(y≤η
