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《涉及多个自变函数的定积分的驻值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.2.5涉及多个自变函数的定积分的驻值问题i/泛函形式：（l=1,2,…,n）ii/求V的驻值：iii/利用分部积分法，可得：=0=>n个Euler方程(Euler方程组)r=1,2,………,n(微分方程组)以及多种可能的边界条件。*上式在理论力学中称Lagrange方程，是具有n个自由度的保守系统的运动方程。*Hamilton原理正是说明Lagrange方程可来自于泛函驻值的求解。*若添加多个自变函数及他们的高阶导数，可获得与上一节类似结果。 1.2.6重积分的驻值问题问题的提法：平面上有一区域Ω,Ω的边界为C,要求在区域中找一个函数w(x,y),使下列重积分取驻值：J=,在C1上，（
2、已知）目的：把上述泛函转化成偏微分方程的边值问题。解：求J的一阶变分得：寻找dwx,δwy与dw的关系，由Gauss定理：α,β是外界的外法线与x,y轴的夹角，C是边界曲线的弧长。若在上式中取u=u1(x,y)u2(x,y)v=v1(x,y)v2(x,y)则得整理后得，（面积分的分部积分公式）取：，,代入后，便得因为在c上,c1中w已知，即dw=0,所以上式线积分仅对c2部份，代入到dJ式，经整理得：为使J取驻值，必须有：（道理同前）还可再推广至更多重积分和自变函数多个及高阶偏导情况。1.2.7三自变量函数的条件驻值问题remark:i/.前几节讨论的几类泛函驻值，习惯称为无条件驻值。并不
3、是说完全无条件，至少应有：1)自变函数的连续性质应使泛函有意义（积分存在）；2）自变函数满足一部分边界条件。但这些条件较易满足，以至不把其作为条件。ii/.本节的泛函，除上述条件外，还有其他条件应须满足。iii/.求解泛函的条件驻值，常用Lagrange乘子法，与多自变量函数条件驻值的Lagrange乘子法十分相似。本节先从三自变量函数的条件驻值，讲清拉氏乘子法的数学原理。问题：寻找F=F(x,y,z)的驻值，并满足条件:Φ(x,y,z)=0既在空间曲面Φ(x,y,z)=0上寻找函数F的驻值点。思路：转换上述问题为无条件驻值时有多种办法，视条件Φ的分离难易程度。若能：1）将Φ(x,y,z)
4、=0z=f(x,y)F[x,y,f(x,y)]2)将Φ(x,y,z)=0x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)F[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]3)采用拉氏乘子法取曲面Φ上的一点p=p(x,y,z)F(xp,yp,zp),取曲面Φ上的另一点Q(x+dx,y+dy,z+dz)是p的邻点;因为Q在Φ面上，故有： 在Q点函数值的微分：Note:dr曲面F的切面上的一个无穷小矢量；与切面上的任意矢量垂直。在p点上，若与平行，则dF=0,即在p的无穷小邻域内找不到能使dF大于或小于零的点，故p为使F取驻值的点。（这句话反过来理解较顺）若不与平行，可分解成两个矢量，一个
5、与平行，取作-l（λ为一适当常数）,另一个与垂直，取作G，即有：=-λ+GG=0在p上，沿G方向取一无穷小矢量dr=εG(ε为一无穷小数)及的思想代入dF式，得:dF=dr=εG(-λ+G)=εGG由此可知，若G不等于零，则可以取正或负的ε使dF大于或小于零，所以F取驻值的条件应使G=0，即=-λ+λ=0写成分量形式，即：,,结合条件,便可决定x,y,z,λ四个量。上式条件是F取驻值的充要条件一般作法：a).构造一个新的函数把x,y,z,λ看作可以是无条件变化的自变量，求F*的驻值b).F*取驻值的条件:，即，，，c).由于F*线性地依赖于λ，所以不论原函数F是否有极值，新函数F*不可能有
6、极值，它关于l只能有非极值的驻值。以上的方法称为Lagrange方法。Homework:按以上思路及步骤，求证F=F(x,y,z)取驻值的条件；需满足s.t.1.2.8带有定积分条件的定积分的驻值问题考虑如下驻值问题:在区域a≤x≤b内寻找一个函数w(x)使它们满足边界条件:在x=a及x=b处w=已知,已知（广义固支）此外，还使得其满足积分条件：α为已知常数，并使下列积分(泛函)取驻值：解法1：按拉氏法：可以把此问题化成一个无条件的泛函驻值问题，新泛函是：λ是一个影响泛函取值的泛函的自变量，与积分变量x无关，是本式中的拉氏乘子，可以证明原问题的条件驻值和新泛函的无条件驻值问题相当。事实上，
7、关于V*对λ取驻值条件＝,V*便退化成V，于是两个问题完全相当。解法2：(一种几何概念比较明显的证明）a).设原问题要求函数w(x)事先满足积分条件，故当w(x)有变分时，条件式的值不应变化，即：（不应有增量）b).利用分部积分及边界条件，此式化为:c).为以后代数描述方便，记一个微分算子如下:原式便简写成：,记作：()=0d).解释：把满足在x=a及x=b上积分（泛函）存在条件的所有函数，设想构成一个函数空间（从被积函
